《2020年江苏省苏州市陆慕高中等三校高二（下）期中数学试卷解析版（理科）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年江苏省苏州市陆慕高中等三校高二（下）期中数学试卷解析版（理科）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 13 页 期中数学试卷 期中数学试卷 题号一二总分 得分 一 填空题 本大题共 14 小题 共 70 0 分 1 已知 凡是 9 的倍数的自然数都是 3 的倍数 和 自然数 n 是 9 的倍数 根据三 段论推理规则 我们可以得到的结论是 2 的展开式中常数项为 3 用反证法证明命题 如果 a b N ab 可被 5 整除 那么 a b 中至少有一个能 被 5 整除 时 假设的内容应为 4 利用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n N 时 从 n k 变到 n k 1 时 左边应增乘的因式是 5 分析法又称执果索因法 若用分析法证明 设 a b c
2、且 a b c 0 求证 索的因应是 a b 0 a c 0 a b a c 0 a b a c 0 6 若 则 n 7 理科 现从 8 名学生中选出 4 人去参加一项活动 若甲 乙两名同学不能同时入 选 则共有 种不同的选派方案 用数字作答 8 观察下列式子 根据以上式子 可以猜想第 2019 个式子是 9 平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 A1AB A1AD BAD 60 且 AB 1 AD 2 AA1 3 则 AC1等于 10 设复数 z i 为虚数单位 则 z z2 z3 z4 z5 z6 z7 11 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两个顶点不同色 现有 5
3、 种不同颜色可用 则不同染色方法的总数是 用数字作答 12 若多项式 x2 2x11 a0 a1 x 1 a10 x 1 10 a11 x 1 11 则 a10 13 现有一个关于平面图形的命题 如图 同一个平面内有两个 边长都是 a 的正方形 其中一个的某顶点在另一个的中心 则这两个正方形重叠部分的面积恒为 类比到空间 有两个 第 2 页 共 13 页 棱长均为 a 的正方体 其中一个的某顶点在另一个的中心 则这两个正方体重叠部分 的体积恒为 14 观察下列等式 cos2 2cos2 1 cos4 8cos4 8cos2 1 cos6 32cos6 48cos4 18cos2 1 cos8
4、128cos8 256cos6 160cos4 32cos2 1 cos10 mcos10 1280cos8 1120cos6 ncos4 pcos2 1 可以推测 m n p 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 0 分 15 已知 是虚数 是实数 1 求 为何值时 有最小值 并求出的最小值 2 设 求证 为纯虚数 16 从 1 3 5 7 9 中任取 2 个数 从 0 2 4 6 中任取 2 个数 1 能组成多少个没有重复数字的四位数 2 若将 1 中所有个位是 5 的四位数从小到大排成一列 则第 100 个数是多少 17 已知函数 a 1 求证 1 函数 f x 在 1 上为增函数
5、2 方程 f x 0 没有负数根 18 已知 的展开式的系数和比 3x 1 n的展开式的系数和大 992 求 2x 2n的展开式中 1 二项式系数最大的项 第 3 页 共 13 页 2 系数的绝对值最大的项 19 如图 平行四边形 ABCD 所在平面与直角梯形 ABEF 所在平面互相垂直 且 AB BE AF 1 BE AF AB AF CBA BC 2 P 为 DF 中点 1 求异面直线 DA 与 PE 所成的角 2 求平面 DEF 与平面 ABCD 所成的二面角 锐 角 的余弦值 20 已知 m n 为正整数 用数学归纳法证明 当 x 1 时 1 x m 1 mx 对于 n 6 已知 求证
6、 m 1 2 n 求出满足等式 3n 4n 5n n 2 n n 3 n的所有正整数 n 第 4 页 共 13 页 答案和解析答案和解析 1 答案 自然数 n 是 3 的倍数 解析 解 由演绎推理三段论可得 三段论 推理出一个结论 则这个结论是 自然数 n 是 3 的倍数 故答案为 自然数 n 是 3 的倍数 三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演 绎推理 在三段论中 含有大项的前提叫大前提 如本例中的 凡是 9 的倍数的自然数 都是 3 的倍数 含有小项的前提叫小前提 如本例中的 自然数 n 是 9 的倍数 叫小 前提 另外一个是结论 三段论推理是演绎推理
7、中的一种简单判断推理 它包含两个性质判断构成的前提 和一 个性质判断构成的结论 一个正确的三段论有仅有三个词项 其中联系大小前提的词项 叫中项 出现在大前提中 又在结论中做谓项的词项叫大项 出现在小前提中 又在结 论中做主项的词项叫小项 2 答案 解析 解 展开式的通项为 Tr 1 令 4 r 0 则 r 4 的展开式中常数项为 故答案为 先求出展开式的通项 令 x 的指数为 0 即可求得展开式中常数项 本题考查二项展开式 考查展开式中的特殊项 考查学生的计算那可 属于基础题 3 答案 a b 都不能被 5 整除 解析 解 由于反证法是命题的否定的一个运用 故用反证法证明命题时 可以设其 否定
8、成立进行推证 命题 a b N 如果 ab 可被 5 整除 那么 a b 至少有 1 个能被 5 整除 的否定是 a b 都不能被 5 整除 故答案为 a b 都不能被 5 整除 反设是一种对立性假设 即想证明一个命题成立时 可以证明其否定不成立 由此得出 此命题是成立的 反证法是命题的否定的一个重要运用 用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技 巧 4 答案 2 2k 1 解析 解 当 n k k N 时 左式为 k 1 k 2 k k 当 n k 1 时 左式为 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 则左边应增乘的式子是 2 2k 1 故答案为 2 2k 1
9、 考查等式两侧的特点 写出左侧 n k 和 n k 1 的表达式 进行比较 即可推出左边应增 乘的因式 第 5 页 共 13 页 本题是基础题 考查数学归纳法证明问题的第二步 项数增加多少问题 注意表达式的 形式特点 找出规律是关键 5 答案 解析 解 由 a b c 且 a b c 0 可得 b a c a 0 c 0 要证 要证 b2 3a2 ac 只要证 3a2 ac a c 2 0 即证 2a2 c2 ac 0 即证 a c a b 0 故 b2 3a2 ac 索的因应是 a c a b 0 故答案为 由题意可知 要证要证要证 只要证 a c a b 0 根据分析法即可 求出答案 本题
10、主要考查用分析法证明不等式 属于中档题 6 答案 5 解析 解 由题意可得 Cn2 Cn 12 Cn 13 Cn3 即 Cn2 Cn3 从而 n 2 3 5 故答案为 5 由题意以及组合数的性质可得 Cn2 Cn 12 Cn 13 Cn3 可以求得 n 5 本题主要考查组合数的性质 正确运用组合数的性质是解题的关键 属于基础题 7 答案 55 解析 解 根据题意 分两种情况讨论 甲 乙两位同学都只有一个参加 只需从剩余的 6 人中再取出 3 人参加 有 40 种选派方法 甲 乙两位同学都不参加 只需从剩余的 6 人中取出 4 人参加 有 C64 15 种选派 方法 由分类计数原理 共有 40
11、15 55 种 故答案为 55 根据题意 这 2 位同学要么只有一个参加 要么都不参加 则分两种情况讨论 若 甲 乙两名位同学只有一个参加 只需从剩余的 6 人中再取出 3 人参加 若甲 乙 2 位同学都不参加 只需从剩余的 6 人中取出 4 人参加 由组合公式计算可得其情况 数目 由分类计数原理 计算可得答案 本题考查排列 组合的应用 是简单题 注意分类讨论 正确计算即可 8 答案 解析 分析 本题主要考查归纳猜想的能力 以及对数字规律的发现 本题属基础题 本题可分别从不等式左右两边去思考 通过观察左边猜想出左边的算式 通过观察右边 的分母 分子可得到最终右边的分数 解答 解 根据题干中已知
12、的三个不等式的左边的特点 可知 第 6 页 共 13 页 第一个算式是加到 第二个算式是加到 第三个算式是加到 由此可猜想 第 2019 个式子左边是加到 对于不等式的右边 分母即为左边算式最后一个分母对应的数字 2020 分子为分母的 2 倍少 1 第 2019 个式子应为 故答案为 9 答案 5 解析 分析 本题考查了空间向量与空间距离的计算 属于中档题 用 表示出 求出 的模即可 解答 解 A1AB A1AD BAD 60 且 AB 1 AD 2 AA1 3 1 2 cos60 1 1 3 cos60 2 3 cos60 3 2 2 2 2 2 1 4 9 2 3 6 25 AC1 5
13、故答案为 5 10 答案 15i 解析 解 复数 z 原式 z z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z z z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 1 z 1 z 8 1 z 1 i 2 4 1 z 15 i 15i 故答案为 15i 第 7 页 共 13 页 首先化简 z i 然后观察多项式 如果加上 各项乘以 z 后 恰好是二项式 1 z 8 所以原式 1 z 8 1 z 化简即可 本题考查了复数的乘除运算以及二项式定理的灵活运用 11 答案 420 解析 解 四棱锥为 P ABCD 下面分两种情况即 C 与 B 同色与 C 与 B 不同色来讨 论 1 各个点的不同的染色方法 P
14、C51 A C41 B C31 C 与 A 同色 D C31 故共有 C41 C31 C31 种 2 各个点的不同的染色方法 P C51 A C41 B C31 C 与 A 不同色 C21 D C21 故共有 C41 C31 C21 C21种 由分步计数原理可得不同的染色方法总数有 C41 C31 C31 C41 C31 C21 C21 420 故答案为 420 首先给顶点 P 选色 有 5 种结果 再给 A 选色有 4 种结果 再给 B 选色有 3 种结果 最后分两种情况即 C 与 A 同色与 C 与 A 不同色来讨论 根据分步计数原理和分类计数 原理得到结果 本题主要排列与组合及两个基本原
15、理 总结此类问题的做法 对于复杂一点的计数问题 有时分类以后 每类方法并不都是一步完成的 必须在分类后又分步 综合利用两个 原理解决 属于中档题 12 答案 22 解析 分析 本题考查了二项式定理及其展开式通项公式 属中档题 由二项式定理及其展开式通项公式得 2x11 2 x 1 1 11展开式的通项为 Tr 1 令 11 r 10 即可得解 解答 解 由 2x11 2 x 1 1 11展开式的通项为 Tr 1 2 x 1 11 r 1 r 令 11 r 10 解得 r 1 则 a10 2 22 故答案为 22 13 答案 解析 分析 本题主要考查类比推理的知识点 解答本题的关键是根据平面中正
16、方形的性质类比推理 出空间正方体的性质特征 本题难度不是很大 首先平面正方形的知识可知一个的某顶点在另一个的中心 则这两个正方形重叠部分的 面积恒为 结合空间正方体的结构特征 即可类比推理出两个两个正方体重叠部分的 体积 解答 第 8 页 共 13 页 解 同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形 其中一个的某顶点在另一个的中心 则这两个正方形重叠部分的面积恒为 类比到空间有两个棱长均为 a 的正方体 其中一个的某顶点在另一个的中心 则这两个正方体重叠部分的体积恒为 故答案为 14 答案 962 解析 解 因为 2 21 8 23 32 25 128 27 所以 m 29 512 每一行倒数第二项正负交替出现 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 可推算出 p 50 然 后根据每行的系数和都为 1 可得 n 400 所以 m n p 962 故答案为 962 本小题考查三角变换 类比推理等基础知识 考查同学们的推理能力等 观察等式左边 的 的系数 等式右边 m n p 的变化趋势 我们不难归纳出三个数的变化规律 进 而得到结论 归纳推理的一般步骤是 1 通过观察个别情况发现某些相同
