《2020年山西省晋中市高二（下）期中数学试卷解析版（理科）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年山西省晋中市高二（下）期中数学试卷解析版（理科）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 12 页 期中数学试卷 期中数学试卷 题号一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 设复数 则 z A B C D 2 若函数 y f x 在区间 a b 内可导 且 x0 a b 若 f x0 4 则 的值为 A 2B 4C 8D 12 3 已知 x 0 观察下列式子 类比有 则 a 的值为 A B C D 4 设函数 f x x4 a 1 x3 a 若 f x 为偶函数 则 f x 在 x 1 处的切线方程 为 A y 5x 4B y 5x 3C y 4x 2D y 4x 3 5 用数学归纳法证明 12 22 n 1 2 n2 n 1 2 2
2、2 12 时 由 n k 的假设到证明 n k 1 时 等式左边应添加的式子是 A k 1 2 2k2B k 1 2 k2 C k 1 2D 6 从 0 2 4 中选一个数字 从 1 3 5 中选两个数字 组成无重复数字的三位数 其中奇数的个数为 A 24B 27C 30D 36 7 甲 乙 丙 丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩 老师说 你们四人中 有 2 位优秀 2 位良好 我现在给丁看乙 丙的成绩 给乙看丙的成绩 给甲看丁 的成绩 看后丁对大家说 我还是不知道我的成绩 根据以上信息 则 A 甲 乙可以知道对方的成绩B 甲 乙可以知道自己的成绩 C 乙可以知道四人的成绩D 甲可以知道
3、四人的成绩 8 设函数在区间上单调递减 则实数 a 的取值范围是 A 1 2 B 4 C 2 D 0 3 9 已知函数 f x 的导函数为 f x 且满足 f x 2xf e lnx e 为自然对数的 底数 则 f e 等于 A B eC D e 10 函数 y x3 3x2 9x 2 x 2 有 A 极大值 5 极小值 27B 极大值 5 极小值 11 C 极大值 5 无极小值D 极小值 27 无极大值 第 2 页 共 12 页 11 若点 P 是曲线 上任意一点 则点 P 到直线的距离的最小值为 A B C D 12 设 f x g x ax 5 2a a 0 若对于任意 x1 0 1 总
4、存在 x0 0 1 使得 g x0 f x1 成立 则 a 的取值范围是 A 4 B 0 C 4 D 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 14 设 i 为虚数单位 则 1 i i2 i3 i4 i20 15 对于三次函数 f x ax3 bx2 cx d a 0 定义 设 f x 是函数 y f x 的 导数 y f x 的导数 若方程 f x 0 有实数解 x0 则称点 x0 f x0 为 函数 y f x 的 拐点 有同学发现 任何一个三次函数都有 拐点 任何一 个三次函数都有对称中心 且 拐点 就是对称中心 请你将这一发现为条件 函数 则它的对称中心为 16 已知函数
5、 f x x3 ax2 a 6 x 1 有极大值和极小值 则 a 的取值范围是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 0 分 17 设 z1是虚数 z2 z1 是实数 且 1 z2 1 1 求 z1 的值以及 z1的实部的取值范围 2 若 求证 为纯虚数 18 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n N 19 设 其中 a 为正实数 当 a 时 求 f x 的极值点 第 3 页 共 12 页 若 f x 为 R 上的单调函数 求 a 的取值范围 20 已知函数 f x x2 mlnx h x x2 x a 1 当 a 0 时 f x h x 在 1 上恒成
6、立 求实数 m 的取值范围 2 当 m 2 时 若函数 k x f x h x 在区间 1 3 上恰有两个不同零 点 求实数 a 的取值范围 21 已知函数 1 若 y f x 的图象在点 1 f 1 处的切线方程为 x y 3 0 求 f x 在 区间 2 4 上的最大值 2 当 a 0 时 若 f x 在区间 1 1 上不单调 求 a 的取值范围 22 已知函数 设 a 0 讨论 y f x 的单调性 若对任意 x 0 1 恒有 f x 1 求 a 的取值范围 第 4 页 共 12 页 答案和解析答案和解析 1 答案 C 解析 解 复数 则 z 故选 C 直接利用复数的模的求法 求解即可
7、本题考查复数的模的运算法则的应用 是基本知识的考查 2 答案 C 解析 解 2 2f x0 8 故选 C 利用导数的定义即可得出 本题考查了导数的定义 属于基础题 3 答案 A 解析 分析 根据题意 对给出的等式变形 类比可得结论 本题考查归纳推理 解题的关键在于发现左式中的规律 属于基础题 解答 解 根据题意 对给出的等式变形可得 类比有 a nn 故选 A 4 答案 C 解析 解 函数 f x x4 a 1 x3 a f x 为偶函数 可得 a 1 所以函数 f x x4 1 可得 f x 4x3 f 1 2 曲线 y f x 在点 1 2 处的切线的斜率为 4 则曲线 y f x 在点
8、1 2 处的切线方程为 y 2 4 x 1 即 y 4x 2 故选 C 利用函数的奇偶性求出 a 求出函数的导数 求出切线的向量然后求解切线方程 本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法 考查计算能力 5 答案 B 解析 解 根据等式左边的特点 各数是先递增再递减 由于 n k 左边 12 22 k 1 2 k2 k 1 2 22 12 n k 1 时 左边 12 22 k 1 2 k2 k 1 2 k2 k 1 2 22 12 比较两式 从而等式左边应添加的式子是 k 1 2 k2 故选 B 根据等式左边的特点 各数是先递增再递减 分别写出 n k 与 n k 1 时的结论 即可得 第
9、5 页 共 12 页 到答案 本题的考点是数学归纳法 主要考查由 n k 的假设到证明 n k 1 时 等式左边应添加的 式子 关键是理清等式左边的特点 6 答案 C 解析 分析 根据题意 可分两类 有 0 时 和无 0 时 根据分类计数原理可得 本题考查计数原理的运用 考查分类讨论的数学思想 正确分类是关键 解答 解 第一类 从 0 2 4 中选一个数字 选为 0 则 0 只能排在十位 故有 6 第二类 从 0 2 4 中选一个数字 不选 0 先排个位 再排其它 故有 24 故有 6 24 30 个 故选 C 7 答案 B 解析 分析 根据题意可逐句进行分析 已知四人中有 2 位优秀 2 位
10、良好 而丁知道乙 丙的成绩 后仍无法得知自己的成绩 故乙和丙只能一个是优秀 一个是良好 然后进行推理即可 本题主要考查合情推理的应用 根据条件得到乙和丙只能一个是优秀 一个是良好是解 题的关键 考查学生的推理能力 解答 解 由丁不知道自己的成绩可知 乙和丙只能一个是优秀 一个是良好 当乙知道丙的成绩后 就可以知道自己的成绩 但是乙不知道甲和丁的成绩 由于丁和甲也是一个优秀 一个良好 所以甲知道丁的成绩后 能够知道自己的成绩 但是甲不知道乙和丙的成绩 综上所述 甲 乙可以知道自己的成绩 故选 B 8 答案 A 解析 分析 本题考查利用导数研究函数的单调性 属于中档题 首先求出函数的单调递减区间
11、然后结合数轴分析求出 a 的范围即可 解答 解 f x x2 9lnx 函数 f x 的定义域是 0 f x x x 0 由 f x x 0 得 0 x 3 函数 f x x2 9lnx 在区间 a 1 a 1 上单调递减 解得 1 a 2 故选 A 第 6 页 共 12 页 9 答案 C 解析 解 根据题意 f x 2xf e lnx 其导数 f x 2f e 令 x e 可得 f e 2f e 变形可得 f e 故选 C 根据题意 由函数的解析式对 f x 求导可得 f x 2f e 将 x e 代入计算可 得 f e 2f e 变形可得答案 本题考查导数的计算 注意 f e 为常数 要正
12、确求出函数 f x 的导数 10 答案 C 解析 解 y 3x2 6x 9 0 得 x 1 x 3 当 x 1 时 y 0 当 x 1 时 y 0 当 x 1 时 y极大值 5 x 取不到 3 无极小值 故选 C 求出 y 的导函数得到 x 1 x 3 因为 2 x 2 舍去 讨论当 x 1 时 y 0 当 x 1 时 y 0 得到函数极值即可 考查学生利用导数研究函数极值的能力 11 答案 C 解析 解 由题意作图如下 当点 P 是曲线的切线中与直线 y x 2 平行的直线的切点时 距离最小 曲线 故令 y 3x 1 解得 x 1 故点 P 的坐标为 1 第 7 页 共 12 页 故点 P
13、到直线 y x 的最小值为 故选 C 由题意作图 故当点 P 是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时 距离最小 从而解得 本题考查了几何意义的运用及导数的综合应用 属于中档题 12 答案 C 解析 分析 本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法 是对知识点的综合考查 属于中档 题 先对函数 f x 分 x 0 和 x 0 分别求函数值 综合可得其值域 同样求出函数 g x 的 值域 把两个函数的函数值相比较即可求出 a 的取值范围 解答 解 f x 当 x 0 时 f x 0 当 x 0 时 f x 由 0 x 1 0 f x 1 故 0 f x 1 又因为 g x ax 5 2a a 0
14、 且 g 0 5 2a g 1 5 a 故 5 2a g x 5 a 所以须满足 a 4 故选 C 13 答案 解析 解 根据题意 2dx 2dx 又由dx 则 2dx 2 sinxdx cosx 2 则 2dx sinxdx 2 故答案为 2 根据题意 分析可得 2dx 2dx 由定积分的几何意义求出dx 的值 即可得 2dx 的值 又由 sinxdx cosx 计算可得答案 本题考查定积分的计算 关键是掌握定积分的计算公式 属于基础题 第 8 页 共 12 页 14 答案 1 解析 解 1 i i2 i3 i4 i20 1 故答案为 1 直接利用数列求和 结合 i 的幂运算 即可求解 本题
15、考查等比数列求和公式的应用 复数的幂运算 考查计算能力 15 答案 解析 解 1 函数 f x 3x2 3x 3 f x 6x 3 令 f x 6x 3 0 解得 x 且 f 1 故函数对称中心为 故答案为 根据函数 f x 的解析式求出 f x 和 f x 令 f x 0 求得 x 的值 由此 求得函数对称中心 本小题主要考查函数与导数等知识 考查化归与转化的数学思想方法 考查化简计算能 力 函数的对称性的应用 属于基础题 16 答案 3 6 解析 解 函数 f x x3 ax2 a 6 x 1 所以函数 f x 3x2 2ax a 6 因为函数有极大值和极小值 所以导函数有两个不相等的实数
16、根 即 0 2a 2 4 3 a 6 0 解得 a 3 6 故答案为 3 6 求出函数的导数 利用导数有两个不相等的实数根 通过 0 即可求出 a 的范围 本题是中档题 考查导数在求函数极值的应用 导函数也是函数 注意函数有极大值和 极小值的理解 是解题的关键 17 答案 解 1 设 z1 a bi a b R 且 b 0 则 z2 z1 a bi a bi a bi i a b i z2是实数 b 0 b 0 b 0 于是有 a2 b2 1 即 z1 1 还可得 z2 2a 由 1 z2 1 得 1 2a 1 解得 a 即 z1的实部的取值范围 2 证明 i 第 9 页 共 12 页 a b 0 为纯虚数 解析 1 设 z1 a bi a b R 且 b 0 则 z2 z1 a bi a bi a b i 根据 z2是实数 b 0 可得 b 0 b 0 即可得出 还可得 z2 2a 由 1 z2 1 即可得出 z1的实部的取值范围 2 由 a2 b2 1 代入 化简即可证明 本题考查了复数的运算法则 复数相等 点纯虚数的定义 方程与不等式的解法 考查 了推理能力与计算能力 属于中档题
