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1、 期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 已知向量=（2，-3，1），则下列向量中与平行的是（）A. （1，1，1）B. （-4，6，-2）C. （2，-3，5）D. （-2，-3，-1）2. 若直线l1、l2的方向向量分别为（1，2，-2），（-2，3，2），则l1与l2的位置关系是（ ）A. l1l2B. l1l2C. l1、l2相交不垂直D. 不能确定3. 下列求导运算正确的是（）A. （cosx）=sinxB. （log2x）=C. （）=D. （3x）=3xlog3e4. 已知曲线y=x2上一点P处的切线与直线2x-y+1=0平行，则点P的坐标
2、为（）A. （-1，1）B. （1，1）C. （2，4）D. （3，9）5. 若函数y=a（x3-x）的单调递增区间为（-，），则实数a的取值范围是（）A. （-1，0）B. （0，1）C. （0，+）D. （-，0）6. 在空间四边形OABC中，OA=OB=OC，AOB=AOC=，则cos，的值为（）A. 0B. C. -D. 7. 已知两平面的法向量分别为=（0，1，0），=（0，1，1），则两平面所成的二面角为（）A. 45B. 135C. 45或135D. 908. 函数y=存在极值点，则实数a的取值范围为（）A. a-1B. a0C. a-1或a0D. a-1或a0二、填空题（本大题
3、共6小题，共24.0分）9. 已知A（4，1，3）、B（2，-5，1），C为线段AB上一点，且=3，则C的坐标为_10. 若f（x）=2x3-6x2+3-a对任意的x-2，2都有f（x）0，则实数a的取值范围为_11. 已知函数f（x）=x-sinx，x（0，），则f（x）的最小值为_12. 已知f（x）=lnx，g（x）=x2+mx+（m0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点为（1，f（1），则m的值为_13. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f（2）等于_14. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90
4、，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若DGEF，则线段DF长度的取值范围为_三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）15. 已知函数f（x）=-x3+ax2+bx+c（a，b，cR），且f（-1）=f（3）=0（1）求a，b的值；（2）若函数f（x）在区间-2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值16. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD=2，E、F分别为CD、PB的中点（1）求证：EF平面PAB；（2）设，求直线AC与平面AEF所成角的正弦值17. 如图，在
5、三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1平面ABC，BAC=90，E是BC的中点，AC=AB=AA1=2（1）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（2）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的余弦值18. 已知函数f（x）=（a0），f（x）为函数f（x）的导函数（）设函数f（x）的图象与x轴交点为A，曲线y=f（x）在A点处的切线方程是y=3x-3，求a，b的值；（）若函数g（x）=e-axf（x），求函数g（x）的单调区间19. 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3（）对任意x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（）证明：对任意x（0，+），都有lnx
6、-恒成立答案和解析1.【答案】B【解析】解：向量=（2，-3，1），则=（2，-2，）与平行，=-2时，=（-4，6，-2）故选：B根据向量平行的定义知与平行，由此判断选项B正确本题考查了向量的平行与坐标表示应用问题，是基础题2.【答案】A【解析】【分析】本题考查两直线的位置关系的判断，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题求出直线l1、l2的方向向量乘积为0，由此得到l1与l2的位置关系【解答】解：直线l1、l2的方向向量分别为=（1，2，-2），=（-2，3，2），=-2+6-4=0，l1与l2的位置关系是l1l2故选A3.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选
7、项：对于A，（cosx）=-sinx，A错误；对于B，（log2x）=，B错误；对于C，（）=（）=，C正确；对于D，（3x）=3xln3，D错误；故选：C根据题意，依次分析选项，验证其导数计算是否正确，综合即可得答案本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题4.【答案】B【解析】解：设切点P的坐标为（x，y），由题意得y=2x，切线与直线2x-y+1=0平行，切线的斜率k=2=2x，解得x=1，把x=1代入y=x2，得y=1，故P（1，1）故选：B先设出P的坐标和求出函数的导数，根据条件求出切线的斜率，根据导数的几何意义求出横坐标，再代入函数的解析式求出纵坐标本题考查了导数的几
8、何意义，即某点处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用5.【答案】D【解析】解：函数y=a（x3-x），可得y=3ax2-a，函数y=a（x3-x）的单调递增区间为（-，），3ax2-a0，说明导函数在x=以及x=是极值点，并且x=是极小值点，所以a0，故选：D求出函数的导数，利用导函数的符号以及函数的单调区间，转化求解即可本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查发现问题解决问题的能力6.【答案】A【解析】解：OB=OC，=（）=|cos-|cos=|（|-|）=0，cos=0故选：A利用OB=OC，以及两个向量的数量积的定义可得cos，的值本题考
9、查两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，是基础题7.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是运用空间向量求二面角的平面角，属于基础题根据已知中两个平面法向量的夹角，代入向量夹角公式，可以求出两个向量的夹角，进而根据两平面所成的二面角与，相等或互补，得到答案【解答】解：两平面的法向量分别为=（0，1，0），=（0，1，1），则两平面所成的二面角与，相等或互补，cos，=，故，=45，故两平面所成的二面角为45或135，故选C8.【答案】D【解析】【分析】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数极值等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，是中档题推导出y=0有解，
10、从而ax2-2ax-1=0有解，由此能求出实数a的取值范围【解答】解：函数y=存在极值点，y=0有解，ax2-2ax-1=0有解，解得a-1或a0当a=-1时，y=，y=0恒成立，函数y=不存在极值点，综上，实数a的取值范围为a-1或a0故选D9.【答案】（，-1，）【解析】解：设C的坐标为（x，y，z），A（4，1，3）、B（2，-5，1），=（-2，-6，-2），=（x-4，y-1，z-3）=3，解之得，即C的坐标为（，-1，）故答案为：（，-1，）设C的坐标为（x，y，z），根据=3利用向量的坐标运算法则，建立关于x、y、z的方程组，解之可得点C的坐标本题给出空间的点A、B坐标，在满足=
11、3的情况下求点C的坐标着重考查了向量的坐标运算及其应用的知识，属于基础题10.【答案】3，+）【解析】解：f（x）=6x2-12x；x-2，0）时，f（x）0，x（0，2时，f（x）0；f（0）=3-a是f（x）在-2，2上的最大值；3-a0；a3；a的取值范围为3，+）故答案为：3，+）求f（x），判断f（x）在-2，2上的符号，从而求出f（x）在-2，2上的最大值，该最大值小于等于0，即求出了a的取值范围考查了函数导数的应用，属于中档题11.【答案】-【解析】解：f（x）=-cosx，x（0，），令f（x）0，解得：0x，令f（x）0，解得：x，函数f（x）在（0，）递减，在（，）递增，f
12、（x）min=f（）=-sin=-，故答案为：-先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题12.【答案】-2【解析】解：由题意，f（x）=，g（x）=x+m（m0），故直线l的斜率为k=f（1）=1，切点为（1，0）；故直线l的方程为y=x-1；即x-y-1=0；由x2+mx+=y，y=x-1消y得，x2+2（m-1）x+9=0；故4（m-1）2-49=0，解得，m=-2（m0）；故答案为：-2由题意，f（x）=，g（x）=x+m（m0），从而可得直线l的斜率为k=f（1）=1，切点为（1，0）
13、；从而求出直线方程，联立令=0求m；本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题13.【答案】18【解析】解：f（x）=3x2+2ax+b，或当时，f（x）=3（x-1）20，在x=1处不存在极值；当时，f（x）=3x2+8x-11=（3x+11）（x-1）x（，1），f（x）0，x（1，+），f（x）0，适合f（2）=8+16-22+16=18故答案为18对函数f（=x）求导的导函数，利用导函数与极值的关系进行求解本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，即在该点处导函数值为014.【答案】【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GDEF，所以 x+2y-1=0DF=当y=时，线段DF长度的最小值是当y=0时，线段DF长度的最大值是 1而不包括端点，故y=0不能取；故答案为：根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决建立如图所示的空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GDEF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可本小题主要考查点、线、面间的距离计算、棱柱的结构特征、空间直角坐标系等基础知识
