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1、1 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 2方差 3协方差及相关系数 4矩 2 4 1数学期望 数学期望的概念 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 3 例1 某班有N人参加考试 其中有ni个人为ai i 1 2 解 平均成绩为 若用X表示成绩 则 求平均成绩 4 一 数学期望的概念 1 离散型 设离散型随机变量X的分布律为 若级数绝对收敛 则称此级数的和为随 既有 数学期望简称期望 又称均值 机变量X的数学期望 记作 EX 5 例1甲 乙两人射击 他们射击水平由下表给出 X 甲击中的环数 Y 乙击中的环数 试问哪一个人的射击水平高 解 甲 乙的平均环数为 甲的射击水平比乙的高 从平均环数上
2、看 6 2 连续型 设连续型随机变量X的概率密度为f x 若积分 绝对收敛 则称此积分值为X的数学期望 记为 说明 X的数学期望刻画了X变化的平均值 7 例2设随机变量X服从Cauchy分布 其概率密度函数为 说明 由于 因而EX不存在 1 定义中的级数与广义积分是否绝对收敛一般不验证 2 并不是任意一个随机变量均存在数学期望 8 例3设有5个相互独立工作的电子装置 它们的寿命Xi i 1 2 3 4 5 都服从参数为 的指数分布 1 若将这5个电子装置并联 组成整机 求此整机的平均寿命E M 2 若将这5个电子装置串联 组成整机 求此整机的平均寿命E N Xi 服从参数为 的指数分布 解 X
3、i的概率密度函数为 Xi的分布函数为 9 1 令 M max X1 X2 X3 X4 X5 X1 X2 X3 X4 X5是 其概率密度函数为 独立同分布的 于是 利用第三章第五节P99 5 7式 10 2 令 N min X1 X2 X3 X4 X5 X1 X2 X3 X4 X5是 其概率密度函数为 独立同分布的 于是 利用第三章第五节P99 5 7式 11 N的分布函数为 其概率密度函数为 2 令 N min X1 X2 X3 X4 X5 X1 X2 X3 X4 X5是 独立同分布的 于是 利用第三章第五节P99 5 8式 12 二 二维随机变量的数学期望 1 离散型 若 X Y 是二维离散
4、型随机变量 其边缘 分布律为 绝对收敛 则称此级数之和为X的数学期望 如果级数绝对收敛 则称此级数的和为Y 的数学期望 记为 E Y 如果级数 记为 E X 13 若积分绝对收敛 则称此积分值为X 记为 E X 若积分绝对收敛 则称此积分值为Y 记为 E Y 2 连续型 若 X Y 是二维连续型随机变量 其关于 X Y的边缘概率密度分别为 fX x fY y 的数学期望 的数学期望 14 若 X Y 联合分布律为pij i j 1 2 或f x y 则 15 三 随机变量函数的数学期望 定理1 设Y g X g x 是连续函数 2 若X的概率密度为f x 1 若X的分布律为 pk P X xk
5、 k 1 2 16 说明1 一个随机变量的数学期望是一个常数 它表示随机变量取值的平均 与一般的算术平均值不同 它是以概率为权数的加权平均 反映了随机变量分布的一大特征 即随机变量取值集中在期望值附近 数学期望定义本身就是期望计算的公式 但须知随机变量的分布率或概率函数 是否绝对收敛 并不是任何一个随机变 2 一个随机变量的数学期望存在与否取决于 量均存在数学期望 3 计算随机变量函数的数学期望时 只需知道X的分布即可 17 定理2 若 X Y 是二维随机变量 1 若 X Y 的分布律为 2 若 X Y 的概率密度为f x y 且 g x y 是二元 连续函数 18 例6设 X Y 在区域A上
6、服从均匀分布 其中A为x轴 y轴和直线x y 1 0所围成的区域 求EX E 3X 2Y EXY 解 19 三 数学期望的性质 1 Ec c c是常数 若a X b 则a EX b 2 E cX cE X c是常数 3 E aX bY aEX bEY 4 若X Y相互独立 则E XY EX EY 20 证明3 若X Y是离散型随机变量 其联合概率函数为Pij 若X Y是连续型随机变量 其联合概率密度为f x y 21 推论 设有随机变量 则有 推论 设有独立的随机变量 则有 22 例7一民航送客载有20位旅客自机场开出 旅客有10个车站可以下车 如到达一个车站没有旅客下车就不停车 以X表示停车的次数 求EX 设每个旅客在各个车站下车是等可能的 并设各旅客是否下车相互独立 解
