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1、 一 高斯消去法 第五章解线性方程组的直接法 2高斯消去法 二 矩阵的三角分解 三 高斯消去法的计算量 四 高斯 约当消去法 一 高斯消去法 1 高斯消去法的基本思想 举例 用消去法解方程组 求解过程详见书 请同学们自学 基本思想 用逐次消去未知数的方法把原来方程组AX b化为与其等价的三角形方程组 而求解三角形方程组就容易了 2 高斯消去法的一般过程 记Ax b为A 1 x b 1 1 消元过程 第一次消元 记为A 2 x b 2 第n 1次消元 记为A n x b n 2 回代过程 高斯消去法的特点 消元和回代不同步 3 使用高斯消去法的条件 使用高斯消去法要求在每步消元时 那么矩阵A满足
2、什么 才能保证这一条件呢 引理 约化的主元素 i 1 2 n 的充要条件是矩阵A的顺序主子式 推论 如果A的顺序主子式不等于0 则 k 2 3 n 定理 如果n阶矩阵A的所有顺序主子式均不为零 则可通过高斯消去法 不进行交换两行的初等变换 将方程组约化为三角形方程组 定理 如果A为n阶非奇异矩阵 则可通过高斯消去法 及交换两行的初等变换 将方程组Ax b化为三角形方程组 二 矩阵的三角分解 由矩阵理论可知 对系数矩阵A实施行的初等变换相当于用初等矩阵左乘A 即 等价于 其中 初等矩阵 例 则 其中 考察高斯消去法过程 等价于 其中 消元时的系数 而且 重复这一过程 共进行次消元 得 1 将上三
3、角矩阵A n 记为U 则有 其中 Gauss消去法将A分解为两个三角矩阵相乘 定理 矩阵的LU分解 设A为n阶矩阵 如果A的顺序主子式 i 1 2 n 1 则A可分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积 且这种分解是唯一的 注 若A实现了LU分解 则 Ax b LU x b Ly bUx y 求解两个三角形方程组 举例 用系数矩阵的LU分解求下列方程组 解 系数矩阵为 由高斯消去法 m21 0 m31 2m32 1 故 则求解原方程组可转化为如下两个三角形方程组 三 高斯消去法的计算量 定理 如果A为n阶非奇异矩阵 则用高斯消去法解Ax b所需的乘除法次数及加减法次数分别为 例如 n
4、 10时 高斯消去法需要430次乘除法 而Cramer法则却需要39916800次乘法 四 高斯 约当消去法 Gauss Jordan 高斯消去法在消元时始终消去对角线下方的元素 而高斯 约当消去法则同时消去对角线上方和下方的元素 第一次消元 与高斯消去法不相同 第二次消元 故方程组的解为 高斯 约当消去法的特点 1 消元和回代同时进行 2 乘除法的次数要比高斯消去法大 所以通常用于同时求解系数矩阵相同的多个方程组或求逆矩阵 高斯 约当消去法的应用 1 同时求解系数矩阵相同的多个方程组 例用高斯 约当消去法求解两个方程组AX b1和AX b2 其中 解增广矩阵为 消元 3 4 消元 于是求得方
5、程组Ax b1的解 方程组AX b2的解 基本原理 设有系数矩阵都为A的m个方程组 将b1 b2 bs依次排在A的第n 1 n 2 n m列 作一个n行n m列的增广矩阵 那么可用高斯 约当消去法的同时求解m个方程组 2 求解矩阵的逆 基本原理 设A为n阶非奇异矩阵 I为单位矩阵 由线性代数的知识 若对n 2n矩阵 A I 作初等行变换 把A化为I 则原先的I就化成了A 1 所以在计算机上用高斯 约当消去法计算即可 即 由关系式AA 1 I 得 其中x s 为A 1的第s列 es为I的第s列 s 1 2 n 在计算机上用高斯 约当消去法求A 1就相当于同时求解n个线性方程组 例用高斯 约当消去法求矩阵A的逆矩阵 其中 解用高斯 约当消去法得 就是A 1 作业 习题1 2 7
