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1、幂级数 主要内容 函数项级数 幂级数及其收敛性 幂级数的运算 函数展开为幂级数 一 函数项级数 在前面 我们曾讨论过公比为q的无穷等比级数 当 q 1时 级数是收敛的 其和为 因此我们也可以把q看作 1 1 内变化的一个自变量 用x代替它 即可得到 由于上式对区间 1 1 内的每一个q值都成立 它的每一项都是以x为自变量的函数 则称点x0为函数项级数 8 3 的一个收敛点 收敛点的全体构成的集合 一般地 由定义在同一区间内的函数序列构成的无穷级数 u1 x u2 x un x 8 3 称为函数项级数 记为 在函数项级数 8 3 中 若令x取定义域中某一确定值x0 则得到一个数项级数 u1 x0
2、 u2 x0 un x0 称为函数项级数的收敛域 若该数项级数收敛 反之 则称点x0为函数项级数 8 3 的发散点 且称之为函数项级数的部分和函数 若x0是收敛域内的一个值 则必有一个和S x0 与之对应 即S x0 u1 x0 u2 x0 un x0 这个函数S x 就称为函数项级数的和函数 当x0在收敛域内变化时 上述级数的和S x0 也随之变化 就得到一个定义在收敛域上的函数S x 即S x u1 x u2 x un x 那么在函数项级数的收敛域内有 将函数项级数的前n项和记为Sn x 即 Sn x u1 x u2 x un x 二 幂级数及其收敛性 和 a0 a1 x a a2 x a
3、 2 an x a n 8 5 一般地 形如 a0 a1x a2x2 anxn 8 4 的级数称为幂级数 其中an n 0 1 2 和a都是常数 an称为幂级数的系数 对于级数 8 5 只要令x a t 就可化为 8 4 的形式 因此下面我们主要讨论级数 8 4 所以区间 1 1 就是该幂级数的收敛域 或者说幂级数 8 4 在点x0处收敛 对于幂级数 8 4 它的每一项在区间 内都有定义 因此对于每个给定的实数值x0 将其代入 8 4 式 就得到一个数项级数 如果 8 6 收敛 则称点x0为幂级数 8 4 的收敛点 如果 8 6 发散 则称点x0为幂级数 8 4 的发散点 或者说幂级数 8 4
4、 在点x0处发散 所有收敛点的集合称为幂级数的收敛域 所有发散点的集合称为幂级数的发散域 例如幂级数 当x在区间 1 1 内取任一个值x0时 级数都收敛 其和为 而 1 及 1 就是该幂级数的发散域 则称幂级数为不缺项 设幂级数中an 0 n 0 1 2 否则称为缺项幂级数 在级数 8 4 中 设 用比值判别法 得 则 3 当 0 即 x 0时 级数 8 4 对任何x值收敛 1 当 x 1 即时 级数 8 4 收敛 2 当 x 1 即时 级数 8 4 发散 因此 令 即 就得到下面定理 在x R处 可能收敛也可能发散 此时 1 而当 x R时幂级数发散 定理 则有 1 如果0 R 则当 x R
5、时幂级数收敛 2 如果R 则幂级数在 内收敛 3 如果R 0 则幂级数仅在x 0处收敛 由定理知 设幂级数是不缺项的 幂级数在的收敛域是以坐标原点为中点 长度为2R的区间 特殊情况可能是整个数轴 也可能只是坐标原点 它在 R R 内收敛 在 R R 外发散 通常称R为幂级数的收敛半径 区间 R R 称为幂级数的收敛区间 例1求幂级数的收敛半径 解 收敛半径 即级数收敛半径R 幂级数在 内收敛 例2求幂级数1 2x 3x 2 nx n 1 的收敛半径 解 收敛半径 即级数仅在x 0处收敛 例3求幂级数的收敛区间 解 收敛半径 当 x 1时 级数收敛 当 x 1时 级数发散 当x 1和x 1时 级
6、数分别为和 前者收敛 后者发散 所以幂级数的收敛区间为 1 1 例4求幂级数的收敛区间 解 令x 2 t 得 所以 2 t 2 即 2 x 2 2 得0 x 4 当x 0得 它是发散的 当x 4时 得 也发散 所以幂级数收敛域为 0 4 解 例5请求幂级数的收敛区间 当 1 即x2 1时 级数收敛 即 x 1时 所求幂级数绝对收敛 当x 1时 代入级数得 级数收敛 所以幂级数的收敛区间为 1 1 三 幂级数的运算 设幂级数与的收敛半径分别为R1与R2 R1与R2与均不为零 它们的和函数分别为S1 x 与S2 x 记R min R1 R2 那么对于幂级数可进行以下运算 1 加法和减法 S1 x
7、S2 x 此时所得幂级数的收敛半径是R 2 乘法 a0b0 a0b1 a1b0 x a0b2 a1b1 a2b0 x2 a0bn a1bn 1 anb0 xn S1 x S2 x 此时所得幂级数的收敛半径是R 则和函数S x 在 R R 内可积 则在 R R 内和函数S x 可导 3 逐项求导数 若幂级数的收敛半径为R 且有 所得幂级数的收敛半径仍为R 但在收敛区间端点处的收敛性可能改变 4 逐项积分 设幂级数的和函数S x 收敛半径为R 且有 所得幂级数的收敛半径仍为R 但在收敛区间端点处的收敛性可能改变 例6讨论幂级数逐项求积分所得幂级数的收敛区间 解 收敛半径R 1 逐项求积分后得 它的
8、收敛半径仍为R 1 当x 1时 幂级数为交错级数 是收敛的 当x 1时 幂级数为调和级数 它是发散的 故幂级数的收敛区间为 1 1 例7求幂级数的和函数 解 所给幂级数的收敛半径R 1 收敛区间为 1 1 注意到 而 在收敛区间 1 1 内 所以 8 7 式称为f x 的x的幂级数展开式 因此 把一个函数表示为幂级数 而且在它的收敛区间内还可以像多项式一样地进行运算 四 函数展开为幂级数 对于研究函数有着重要的意义 我们看到 幂级数不仅形式简单 对于一个给定的函数f x 如果能找到一个幂级数 使 R x R 8 7 成立 那么 我们就说函数f x 可以展开为x的幂级数 在这里 有两个问题需要我
9、们去解决 1 在式 8 7 中 系数a0 a1 a2 an 如何确定 2 f x 满足什么条件才能展开为x的幂级数 先解决问题 1 不妨假设 8 7 式成立 那么根据幂级数的逐项求导法 对式 8 7 依次求出各阶导数 把x 0代入式 8 7 及上列的各等式 得 a0 f 0 把它们代入式 8 7 得 那么这个幂级数就是f x 的麦克劳林级数 通常称式 8 8 为f x 的幂级数展开式 但要注意 按上述形式作出的麦克劳林级数 在收敛区间内是否一定收敛于函数本身呢 因此 还要解决问题 2 研究f x 满足什么条件才能展开为x的幂级数 或着说麦克劳林级数满足什么条件才能收敛于f x 在 R R 内
10、只要考察余项 是否随n的无限增大而趋于零 当f x 在 R R 内有任意阶导数时 可以证明 其中 在0和x之间 n 1 2 综上所述可得 如果f x 在包含点x 0的某一区间 R R 内有任意阶导数 在0和x之间 R x R 7 9 且 那么f x 在区间 R R 内可以展开为麦克劳林级数 函数展开为麦克劳林级数的一般步骤为 1 求出f x 的各阶导数 2 计算f 0 3 写出f x 的麦克劳林级数 4 求出上述级数的收敛区间 R R 5 在收敛区间内考察是否为零 若为零 则有 否则即使求出的麦克劳林级数收敛 其和函数也不一定为f x 例8求指数函数f x ex的麦克劳林展开式 解 由于f n
11、 x ex 故得f n 0 1 n 1 2 于是 ex的麦克劳林级数为 它的收敛半径为R 要证明这个级数在 内收敛于ex 就需验证式 7 9 在 内成立 现在 在0和x之间 因e e x 故对任意给定的x e 有界 而是级数的一般项 所以根据级数收敛的必要条件 对任意的x 都有 从而 即得ex的麦克劳林展开式为 于是sinx的麦克劳林展开式为 例9求正弦函数f x sinx的麦克劳林展开式 解 正弦函数的各阶导数为 n 0 1 2 f n 0 依次循环地取0 1 0 1 于是得sinx麦克劳林级数为 其收敛区间为 所以 对任意x 同理 我们可得到常见函数的麦克劳林展开式 上面我们研究了函数f
12、x 的麦克劳林展开式 即f x 在x 0处的展开式 采用类似的方法 还可以得到 如果函数f x 在包含x a的某一区间 a R a R 内有任意阶导数 且 在a和x之间 a R x a R 那么f x 在区间 a R a R 内可以展开为 x a 的幂级数 通常称式 8 10 为f x 在x a处的泰勒展开式 称 8 10 式右端的级数为f x 在x a处的泰勒级数 将t换回x即得所求展开式为 例10求函数f x x在x 2处的泰勒展开式 解 用间接法展开比直接法更简便 令x 2 t 则 x 2 t 于是 求 x在x 2处的泰勒展开式 就化为求 2 t 在t 0处的泰勒展开式 由于 小结 1 函数项级数及其有关概念 2 幂级数的概念及其收敛性 3 幂级数的运算 4 函数展开为幂级数 作业 教材P1421 12
