随机信号分析课件教学内容

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1、南京航空航天大学 信息科学与技术学院 常建平 随机信号分析 另外 信息在传输的过程中 不仅传输的信号多数本身具有随机性 同时它们还要受到传输系统 随机 噪声的影响 使结果具有更加复杂的随机性 如果使用经典的 确定信号的理论与方法 必然是 张冠李带 无法得到正确的处理结果 序 随机信号是通信 信号与信息处理 自动控制等学科领域必须研究的信号形式 比如我们电子信息类专业的后修课程中需要对随机信号进行处理的课程有 通信原理 雷达原理 数字信号处理 信息论 图像信号处理 语音信号处理 线性控制系统等等课程 随机信号分析与处理是一门研究随机信号的特点与规律的学科 它广泛应用于雷达 通信 自动控制 随机振

2、动 地震信号处理 图像处理 气象预报 生物电子等领域 近几年来 随着现代科学技术 特别是信息科学技术的发展 随机信号处理已是现代信号处理的重要理论基础和有效方法之一 然而随着现代化发展的需要 掌握这套方法 已不仅仅是我们通信 信息类专业的要求 也已成为所有科技领域 金融 管理 生物医学等许多专业的需要 课程的特点与研究方法 学会用统计的观点来看研究对象 随机信号由于随机信号是随机变化和不确定的 只有它的统计规律才是确定的 因此对随机信号而言 从描述方式 推演方式到分析方法都是在统计意义上讨论与定义的 所以必须学会用统计的观点来看所有随机的问题 学习时必须注重物理概念的理解该课程是电子信息类和相

3、关专业的一门专业基础课程 不是一门数学课程 课程中用到的许多数学理论是处理随机信号问题的数学工具 因此 学习时除了注意处理随机信号的方法外 更重要的是深入理解数学推演结果 结论的物理意义 对一些复杂的数学推演的中间步骤不必死记硬背 更不必深究其数学上的严密性 重在弄清楚来龙去脉 掌握分析的思路与方法 1 1概率空间 随机试验 在相同条件下可以重复进行 每次试验的可能结果不止一个 在试验前不能预测哪个会出现 随机事件 随机试验中可能出现的结果 基本事件 随机试验中的 不可能再分的 最小的随机事件 又称 样本点 样本空间 随机试验中所有可能结果 样本点 的集合 第1章概率论常建平 一 事件的运算

4、事件的关系 A 事件A发生必然导致事件B发生的事件 称事件B包含事件A 记 B A B A与B中 只要有一个发生且发生的事件 称A与B的 和事件 记 A B A与B同时发生才发生的事件 称A与B的 积事件 记 A B B A A B A B A与B不可能同时发生的事件 称A与B 互不相容 记 A B 空集 A发生 而B不发生的事件 称A与B的 差事件 记 A B B A B A A不发生的事件 称事件A的 逆 记 AA A A 二 概率的定义 若某一个随机试验E 1 它的全部可能结果 样本空间 中所有样本点数只有有限个 2 每个结果的发生 是等可能的 那么 E中任意事件A发生的概率P A 为

5、1 概率的古典定义 2 概率的几何定义 将某一个随机试验E 含有无穷多个样本点 的样本空间 用m维空间中某一个有界区域 表示 而对这一区域 的大小的 度量 用L 表示 它可以是一维空间 的长度 二维空间 的面积 三维空间 的体积 A 若随机试验E等效为均匀地向区域 投掷一随机点 事件A 的子集 等效为 中任一可能出现的小区域 L A 是A的度量 由于是均匀投掷的随机点 所有样本点的发生是等可能的 因此随机点落入区域A的概率则为 度量 之比 区间A的度量 区间B的度量 3 概率的统计定义 随机事件A在某组的n次试验中出现nA次 比值称作事件A在这组的n次试验中出现的频率 定义 在试验E的n次重复

6、试验中 事件A发生的概率 频率具有随机性 当n有限时 这组的n次试验中的频率fn A 与下一组的n次试验中的频率fn A 可能不同 但概率P A 却是固定不变的 频率fn A 只有在n 时 才趋于概率 在概率论的发展史上 人们曾针对不同问题 从不同角度给出了概率的三种定义和计算方法 这三种定义和计算方法都具有各自的适用范围 存在一定的局限性 但在三种定义下概率的性质却是完全相同的 因此 人们从概率的性质出发 给概率赋予一个新的数学定义 即概率的公理化定义 这个定义只指明概率应具有的基本性质 不具体规定概率的计算方法 4 概率的公理化定义 事件域F是由样本空间中的某些子集构成的非空集类 集类是指

7、以集为元素的集合 若定义在事件域F上的一个集合函数P满足下列三个条件 非负性 规范性 完全可加性 若且两两互不相关时 有 则称P为概率 样本空间事件域F和概率P构成的总体称为随机试验E的概率空间 单调性 若 则 5 概率的性质给定概率空间 从概率的公理化定义的三个条件 可以推出概率的性质 不可能事件的概率为0 P 0 必然事件的概率为1 P 1 逆事件的概率为 有限可加性 若 且两两互不相容 则 加法公式 次可加性 1 1 2条件概率 P A B 在B事件已发生的条件下 A事件发生的概率 可以看成是在缩小的 样本空间B 上 求A发生的概率 即 B A 一 条件概率的定义 同理可得 若A于B互不

8、相容P AB 0 则P A B 0 P B A 0 且有 AB B 合格品数次品数总数第1台35540第2台501060总计8515100 由条件概率公式求 利用缩小的样本空间来求 例1 2两台车床加工同一种零件 从这100个零件中任取一个 设取得合格品为事件A 取得的是第1台加工的为B1 取得的是由第2台加工的为B2 求由各台车床加工时 出合格品的概率 解 由第一台加工出合格品的概率为 由第一台加工出合格品的概率为 由概率的古典定义 由条件概率公式可推出 P AB P A B P B P B A P A 以此类推可得 二 条件概率的基本公式1 乘法公式 例1 3一批零件共100个 次品率为1

9、0 每次从其中任取一个 取出后不再放回 求第三次才取得合格品的概率 解 设第一次取出零件是次品为事件A1 第二次取出零件是次品为事件A2 第三次取出零件是合格品为事件A3 由乘法公式求出 2 全概率公式 A B1 B2 Bi Bn 解 设一批产品中有i个次品的事件为 则有 例1 4某工厂生产的产品以100个为一批 在进行抽样检查时 只从每批中抽取10个来检查 若发现其中有次品 则认为这批产品不合格 假定每批中的次品最多不超过4个 且有如下分布 求各批产品通过检查的概率 一批产品中的次品数01234概率0 10 20 40 20 1 设事件A表示这批产品通过检查 即抽样检查的10个产品都是合格品

10、 则 由全概率公式求出 3 贝叶斯 Bayes 公式设事件A已发生 而事件A发生是由事件B的发生所引起的概率为 其中是完备的事件群 后验概率 例1 5 例1 2续 求 取出的合格品是由第一台车床加工的概率 解 取出的合格品是由第一台车床加工的概率 由Bayes公式求出 比较由前得出的与可见 尽管第一台车床加工时 出合格品的概率比较高 担由于第一台加工的零件个数少于第二台加工零件的个数 所以 取出的合格品是由第一台车床加工的可能性却比较小 二 两个事件的相容性 属集合论范畴 两个事件互不相容 表示两个事件不能同时发生 如果把 A与B互不相容 放在概率论范畴去讨论 则表示 A发生B就不能发生 因A

11、限制了B 则A与B相关 反之 若把 A与B相互独立 放在集合论范畴去讨论 由于P AB P A P B 0 P A 0 P B 0 即A B 由于A与B可以同时发生 则A与B必定相容 1 1 3事件的独立 一 两个事件独立A发生的概率与B发生与否无关 即P A B P A B发生的概率与A发生与否无关 即P B A P B 由乘法公式P AB P A B P B P B A P A P A P B 三 多个事件相互独立定义 设是n个事件 若对于任意有 习题 1 2 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 如A B C相互独立的条件 P AB P A P B P AC P A P C P BC

12、P B P C P ABC P A P B P C 则称事件是相互独立的 易见 若相互独立 则它们之中任意m m n 个事件也一定相互独立 特别当相互独立时 它们之中的任意两个事件也都相互独立 即两两独立 反之则未必成立 即n个事件两两独立并不等于它们全体相互独立 1 2随机变量 一 离散型随机变量 X取离散值 1 分布律 分布列 随机变量X取各个可能值的概率 2 分布函数 随机变量X取值落在上的概率 分布律也可用表格的形式表示 3 性质 右连续 求 例1 10已知 解 解 由分布函数的图可得 二 连续型随机变量 X取连续值 右连续 三 常用的连续型随机变量 1 3多维随机变量及其分布 在实践

13、中经常会遇到需要多个随机变量才能描述清楚的随机现象 例1 14设某地面卫星站接收到的随机信号的所有可能状态有10种 若用十进制数表示 则此信号的状态是一个一维随机变量X 值域 I 0 1 2 9 若用二进制数表示 其10个状态I 0000 0001 0010 1001 此状态必须用四维随机变量 X1 X2 X3 X4 或用四维随机矢量描述 一般n维随机变量 也可以用n个分量的随机矢量表示为 一 二维随机变量 1 定义定义在同一个概率空间上的两个随机变量 X Y 为二维随机变量 2 二维随机变量的分布函数定义随机变量取值 X Y y这样一个联合事件的概率 为 X Y 的联合分布函数 联合分布函数

14、的性质 3 联合概率密度 性质 例1 15设二维随机变量 X Y 的概率密度求 分布函数 落在如图所示的三角形域G内的概率 解 分布函数 落在三角形域G内的概率 利用阶跃函数与冲激函数 离散型二维随机变量的联合分布函数可以表示为 4 离散型二维随机变量若二维随机变量 X Y 所有可能取值为可列有限对或无限对则联合分布律为 其中 离散二维变量的联合概率密度可表示为 离散变量的分布函数 二 二维随机变量的边缘分布 条件分布1 边缘分布函数和边缘概率密度 二维连续随机变量 X Y 关于X的边缘分布函数为 二维连续随机变量 X Y 关于X的边缘概率密度为 二维离散随机变量 X Y 关于X的边缘分布函数

15、为 二维离散型随机变量 X Y 关于X的边缘分布律为 2 条件分布函数和条件概率密度在给定条件下 Y的条件分布函数为 在给定条件下 Y的条件概率密度为 在给定条件下 X的条件分布函数为 在给定条件下 X的条件概率密度为 2 离散型随机变量的条件分布律 在给定条件下 Y的条件分布律 因此有 性质 条件分布函数的性质 条件概率密度的性质 三 随机变量的统计独立由于所以独立的条件 当X与Y相互独立时 有 离散型随机变量独立的条件 思考 X与Y相互独立时 有当时 是否有X与Y乘积的概率密度为 1 n维随机变量的联合分布函数性质 1 单调不减性2 3 4 n维随机变量的联合概率密度 四 n维随机变量 性

16、质 1 4 3 2 边缘分布函数 思考有多少个 少dx1 n 1重 少dxi n 3重 少dx1 dx2dx3 4 边缘概率密度 5 条件概率密度 n维随机变量 X1 Xn 1 Xn 在X1 Xn 1给定的条件下的概率密度 2维随机变量 X1 X2 在X1给定的条件下的概率密度 得递推公式 n维随机变量 X1 Xn 2 Xn 1 在X1 Xn 2给定的条件下的概率密度 3维随机变量 X1 X2 X3 在X1 X2给定的条件下的概率密度 如果X1 X2 Xk之间相互独立 则 所以X1 X2 Xn之间相互独立的条件为 上式两边同时对求积分 可得 上式两边同时对求积分 条件概率密度 无条件概率密度 可得 以此类推可得 即 只要满足条件则满足所有条件 且随机变量相互独立 则四维随机变量的概率密度 例1 16四维随机变量 X1 X2 X3 X4 中各随机变量相互独立 且都服从 0 1 上的均匀分布 求 四维随机变量的联合概率密度 边缘概率密度 条件概率密度和解 Xi服从 0 1 上的均匀分布 则Xi的概率密度为 因为随机变量相互独立 所以条件概率密度为 同理可知关于的边缘概率密度为 1 4随机变