《复变函数与积分变换5.3留数在定积分计算上的应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换5.3留数在定积分计算上的应用.ppt（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、留数定理是复变函数的定理 若要在实变函数定积分中应用 必须将实变函数变为复变函数 这就要利用解析延拓的概念 留数定理又是应用到回路积分的 要应用到定积分 就必须将定积分变为回路积分中的一部分 3留数在定积分计算上的应用 如图 对于实积分 变量x定义在闭区间 a b 线段 此区间应是回路的一部分 实积分要变为回路积分 则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中 而实积分成为回路积分的一部分 1 形如的积分 其中R cosq sinq 为cosq与sinq的有理函数 令z eiq 则dz ieiqdq 而 其中f z 是z的有理函数 且在单位圆周 z 1上分母不为零 根据留数定理有 其中z
2、k k 1 2 n 为单位圆 z 1内的f z 的孤立奇点 例1计算的值 解 由于0 p 1 被积函数的分母在0 q 2p内不为零 因而积分是有意义的 由于cos2q e2iq e 2iq 2 z2 z 2 2 因此 在被积函数的三个极点z 0 p 1 p中只有前两个在圆周 z 1内 其中z 0为二级极点 z p为一级极点 例2计算的值 解 令 例3 解 取积分路线如图所示 其中CR是以原点为中心 R为半径的在上半平面的半圆周 取R适当大 使R z 所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内 此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变 例4 例5 解 3 形如的积分 当R x 是x的有理函数
3、而分母的次数至少比分子的次数高一次 且R x 在实数轴上没有奇点时 积分是存在的 象2中处理的一样 由于m n 1 故对充分大的 z 有 因此 在半径R充分大的CR上 有 也可写为 例6计算的值 解 这里m 2 n 1 m n 1 R z 在实轴上无孤立奇点 因而所求的积分是存在的 在上半平面内有一级极点ai 例4计算积分的值 解 因为是偶函数 所以 为了使积分路线不通过原点 取如下图所示的路线 由柯西积分定理 有 令x t 则有 因此 要算出所求积分的值 只需求出极限 下面将证明 由于 所以 j z 在z 0处解析 且j 0 i 当 z 充分小时可使 j z 2 而 由于 在r充分小时 例题
