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1、 第二章控制系统的数学模型 主要内容 1 控制系统的时域数学模型的建立 2 复习傅里叶变换拉普拉斯变换 3 控制系统的传递函数 典型元部件的传递函数 4 控制系统的结构图及等效变换 5 信号流图 梅逊公式 及控制系统的传递函数 基本要求 1 掌握系统微分方程建立的方法 2 熟练掌握传递函数的概念 定义 性质及局限性 3 熟悉常用元部件 典型环节 的传递函数及常用的传递函数形式 4 学会由系统微分方程建立系统结构图 熟练掌握用拉氏变换方法求解线性常微分方程的方法 5 熟练掌握利用结构图等效变换和梅逊公式求系统传递函数的方法 本章概述 2 1拉氏变换和反变换 2 3控制系统的复数域数学模型 2 5
2、系统方框图 2 4典型环节的传递函数 2 6系统信号流图 2 7闭环系统传递函数的求取 2 2控制系统的时域数学模型 数学模型 描述系统内部物理量 变量 之间关系的数学表达式 建模的基本方法 1 机理建模法 解析法 2 实验辩识法 工程控制中常用的数学模型形式 时域描述 微分方程 差分方程 状态方程复域描述 传递函数 方块图 结构图 信号流程图频域描述 频率特性模型各有特点 使用时可灵活掌握 若分析研究系统的动态特性 取其数学模型比较方便 若分析研究系统的内部结构情况 取其物理模型比较直观 若两者皆有 则取其图模型比较合理 数学基础 傅里叶变换与拉普拉斯变换 数学模型的形式 时间域 微分方程差
3、分方程状态方程复数域 传递函数结构图频率域 频率特性 三域 模型及其相互关系 建立数学模型的基础 机械运动 牛顿定理 能量守恒定理电学 欧姆定理 基尔霍夫定律热学 传热定理 热平衡定律 微分方程 连续系统 差分方程 离散系统 2 1傅里叶变换与拉普拉斯变换 2 1 1傅里叶级数 2 1 2傅里叶积分与傅里叶变换 Fourier变换的定义 在频谱分析中 傅氏变换F w 又称为f t 的频谱函数 而它的模 F w 称为f t 的振幅频谱 亦简称为频谱 由于w是连续变化的 我们称之为连续频谱 对一个时间函数f t 作傅氏变换 就是求这个时间函数f t 的频谱 例矩形脉冲函数为 2 1 3拉普拉斯变换
4、 拉氏变换的优点 1 求解简化 2 把微分 积分方程转化为代数方程 3 将复杂函数转化为简单的初等函数 4 将卷积转化为乘法运算 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 一般函数有 引入衰减因子得 拉普拉斯变换的定义 设函数满足 时 时分段连续 且则拉普拉斯变换的定义为 拉普拉斯反变换 2 1 4典型函数 常用信号 的拉普拉斯变换 3 单位阶跃函数 构成一变换对 5 单位加速度函数 构成一变换对 7 t的幂函数 构成一变换对 2 1 5拉普拉斯变换定理 性质 1 线性定理 2 微分定理 3 积分定理 5 延时定理 第二平移定理 4 位移定理 第一平移定理 6 初值定理 7 终值定理 8 相似定理 时间比例尺的改变定理 9 卷积定理 10 乘幂定理 例求的拉普拉斯变换 2 1 6拉普拉斯反变换 拉普拉斯变换的部分分式展开式在控制系统中一般为如下有理分式的形式 拉普拉斯反变换的公式 中只有不同的实数极点时 解 将F s 展开成部分分式形式 中含有多重极点时 解 将F s 展开成部分分式形式 中含有共轭复数极点时 解 求方程s2 s 1 0的根 2 1 7拉氏变换求解微分方程
