《高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大小值第二课时函数的最大小值课件新人教A版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大小值第二课时函数的最大小值课件新人教A版必修1（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二课时函数的最大 小 值 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 情境导学 导入如图所示是某市房管局公布的2013年10月 2014年9月该市房价走势图 想一想1 从导入图中能否得出2013年10月 2014年9月房价的最大值 在2014年5月 房价达到最大值 约为27000元 想一想2 从导入图中能否得出2013年10月 2014年9月房价的最小值 在2013年12月 房价达到最小值 约为25400元 知识探究 1 最大值 1 定义 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 对于任意的x I 都有f x M 存在x0 I 使得 那么 称M是函数y f x 的最大
2、值 2 几何意义 函数y f x 的最大值是图象最点的坐标 探究 若函数f x M 则M一定是函数的最大值吗 答案 不一定 只有定义域内存在一点x0 使f x0 M时 M才是函数的最大值 否则不是 f x0 M 纵 高 2 最小值 1 定义 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 对于任意的x I 都有f x M 存在x0 I 使得 那么 称M是函数y f x 的最小值 2 几何意义 函数y f x 的最小值是图象最点的坐标 f x0 M 低 纵 拓展延伸 最值的求法 1 作出函数的图象 尤其是分段函数或解析式含有绝对值的函数 从图象直接观察可得最值 2 求出函数的值域 其
3、边界即为最值 此时要注意边界值能否取到 即最值是否存在 3 利用函数的单调性求最值 以下可以作为结论使用 若函数在闭区间 a b 上是减函数 则f x 在 a b 上的最大值为f a 最小值为f b 若函数在闭区间 a b 上是增函数 则f x 在 a b 上的最大值为f b 最小值为f a 自我检测 1 最大值 函数f x 3 x2的最大值为 A 3 B 2 C 0 D 4 A 2 最小值 函数y x2 2x 1在 0 3 上的最小值为 A 0 B 4 C 1 D 以上都不对 B B 4 最值的应用 若函数y ax 1在 1 2 上的最大值与最小值的差为2 则实数a的值是 答案 2 5 最值
4、 函数f x 在 2 上的图象如图所示 则函数的最小值为 最大值为 答案 不存在3 题型一 图象法求最值 课堂探究 素养提升 解 1 函数的图象如图所示 由图象可知f x 的单调递增区间为 0 和 0 无递减区间 2 根据函数的图象求出函数的最小值 解 2 由函数图象可知 函数的最小值为f 0 1 方法技巧利用图象求函数最值的方法 画出函数y f x 的图象 观察图象 找出图象的最高点和最低点 写出最值 最高点的纵坐标是函数的最大值 最低点的纵坐标是函数的最小值 即时训练1 1 用min a b c 表示a b c三个数中的最小值 则函数f x min 4x 1 x 4 x 8 的最大值是 解
5、析 在同一坐标系中分别作出函数y 4x 1 y x 4 y x 8的图象后 取位于下方的部分得函数f x min 4x 1 x 4 x 8 的图象 如图所示 由图象可知 函数f x 在x 2时取得最大值6 答案 6 备用例1 已知函数f x 求f x 的最大值 最小值 题型二 单调性法求最值 例2 已知函数f x 1 判断函数在区间 1 上的单调性 并用定义证明你的结论 2 求该函数在区间 2 4 上的最大值和最小值 方法技巧 1 由函数单调性结合函数图象找出最高 低 点的纵坐标即为函数的最大 小 值 2 分段函数的最大 小 值是函数整体上的最大 小 值 即时训练2 1 已知函数f x x 3
6、 5 1 判断函数在区间 3 5 上的单调性 并给出证明 2 求该函数的最大值和最小值 备用例2 求函数y 2x 1 的最大值 题型三 二次函数的最值 例3 已知函数f x 3x2 12x 5 当自变量x在下列范围内取值时 求函数的最大值和最小值 1 x R 解 f x 3x2 12x 5 3 x 2 2 7 1 当x R时 f x 3 x 2 2 7 7 当x 2时 等号成立 即函数f x 的最小值为 7 无最大值 2 0 3 3 1 1 解 2 函数f x 3 x 2 2 7的图象如图所示 由图可知 函数f x 在 0 2 上递减 在 2 3 上递增 并且f 0 5 f 2 7 f 3 4
7、 所以在 0 3 上 f x max f 0 5 f x min f 2 7 3 由图象可知 f x 在 1 1 上单调递减 f x max f 1 20 f x min f 1 4 变式探究 1 若本例函数解析式不变 求此函数在 0 a 上的最大值和最小值 解 1 由题意知a 0 f x 3x2 12x 5 3 x 2 2 7 故此函数的对称轴为x 2 当0 a 2时 f x min f a 3a2 12a 5 f x max f 0 5 当2 a 4时 f x min f 2 7 f x max f 0 5 当a 4时 f x min f 2 7 f x max f a 3a2 12a 5
8、 2 若将函数 f x 3x2 12x 5 变为 f x x2 2ax 2 则函数在 1 1 上的最小值如何 解 2 f x x2 2ax 2 x a 2 2 a2 其图象开口向上 对称轴为x a a1时 f x 在 1 1 上单调递减 f x min f 1 3 2a 综上 f x min 即时训练3 1 已知函数f x x2 2ax 2 当x 1 时 f x a恒成立 求a的取值范围 解 因为f x x a 2 2 a2 所以此二次函数图象的对称轴为x a 当a 1 时 f x 在 1 上单调递增 所以f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a
9、3 a 解得a 3 即 3 a 1 当a 1 时 f x min f a 2 a2 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2 a2 a 解得 2 a 1 即 1 a 1 综上所述 实数a的取值范围为 3 1 备用例3 已知函数f x x2 2x 3 若x t t 2 求函数f x 的最值 解 因为对称轴为x 1 当1 t 2即t 1时 f x max f t t2 2t 3 f x min f t 2 t2 2t 3 题型四函数最值的实际应用 例4 经市场调查 某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量 单位 件 与单个商品的价格 单位 元 均为时间t 单位 天 的函数 且销售量
10、近似满足g t 80 2t 单个商品的价格近似满足于f t 1 试写出该种商品的日销售额y关于时间t 0 t 20 的函数解析式 2 求该种商品的日销售额y的最大值与最小值 解 2 由 1 知 当0 t 10时 y t2 10t 1200 t 5 2 1225 函数图象开口向下 对称轴为直线t 5 该函数在 0 5 上单调递增 在 5 10 上单调递减 所以ymax 1225 当t 5时取得 ymin 1200 当t 10时取得 当10 t 20时 y t2 90t 2000 t 45 2 25 图象开口向上 对称轴为直线t 45 该函数在 10 20 上单调递减 ymax 1200 当t 1
11、0时取得 ymin 600 当t 20时取得 由 知 ymax 1225 当t 5时取得 ymin 600 当t 20时取得 方法技巧函数的单调性在实际生活中的应用问题 大多涉及最值的求解 如利润最大 用料最省等 解题的关键是先由题意确定函数的解析式 然后借助函数单调性求出最值 但要注意函数的自变量的值要使实际问题有意义 即时训练4 1 某工厂拟建造一座平面图为如图矩形且面积为200m2的三级污水处理池 由于地形限制 该污水处理池的长 宽都不能超过16m 如果池外墙建造单价为每米400元 中间两条隔墙建造单价为每米248元 池底建造单价为每平方米80元 池壁的厚度忽略不计 且无池盖 求当污水处理池的长和宽各为多少米时 池的总造价最低 并求出最低总造价 谢谢观赏
