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1、2005 2006高考复习 第六章 机械能 2005 10 第三课 动能动能定理 一 动能 如果一个物体能对外做功 我们就说这个物体具有能量 物体由于运动而具有的能 Ek mv2 其大小与参照系的选取有关 动能是描述物体运动状态的物理量 是相对量 二 动能定理 做功可以改变物体的能量 所有外力对物体做的总功等于物体动能的增量 W1 W2 W3 mvt2 mv02 1 反映了物体动能的变化与引起变化的原因 力对物体所做功之间的因果关系 可以理解为外力对物体做功等于物体动能增加 物体克服外力做功等于物体动能的减小 所以正功是加号 负功是减号 2 增量 是末动能减初动能 EK 0表示动能增加 EK
2、0表示动能减小 3 动能定理适用单个物体 对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理 由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能 比如内能 的转化 在动能定理中 总功指各外力对物体做功的代数和 这里我们所说的外力包括重力 弹力 摩擦力 电场力等 4 各力位移相同时 可求合外力做的功 各力位移不同时 分别求力做功 然后求代数和 5 力的独立作用原理使我们有了牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定律的分量表达式 但动能定理是标量式 功和动能都是标量 不能利用矢量法则分解 故动能定理无分量式 在处理一些问题时 可在某一方向应用动能定理 6 动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线
3、运动的情况下得出的 但它也适用于变为及物体作曲线运动的情况 即动能定理对恒力 变力做功都适用 直线运动与曲线运动也均适用 7 对动能定理中的位移与速度必须相对同一参照物 三 由牛顿第二定律与运动学公式推出动能定理 设物体的质量为m 在恒力F作用下 通过位移为S 其速度由v0变为vt 则 根据牛顿第二定律F ma 根据运动学公式2as vt2一v02 由 得 FS mvt2 mv02 四 应用动能定理可解决的问题 恒力作用下的匀变速直线运动 凡不涉及加速度和时间的问题 利用动能定理求解一般比用牛顿定律及运动学公式求解要简单的多 用动能定理还能解决一些在中学应用牛顿定律难以解决的变力做功的问题 曲
4、线运动等问题 例1 如图所示 质量为m的物体与转台之间的摩擦系数为 物体与转轴间距离为R 物体随转台由静止开始转动 当转速增加到某值时 物体开始在转台上滑动 此时转台已开始匀速转动 这过程中摩擦力对物体做功为多少 解析 物体开始滑动时 物体与转台间已达到最大静摩擦力 这里认为就是滑动摩擦力 mg 根据牛顿第二定律 mg mv2 R 由动能定理得 W mv2 由 得 W mgR 所以在这一过程摩擦力做功为 mgR 例2 一质量为m的物体 从h高处由静止落下 然后陷入泥土中深度为 h后静止 求阻力做功为多少 解析 整个过程动能增量为零 则根据动能定理mg h h Wf 0 所以Wf mg h h
5、1 动能定理应用的基本步骤 应用动能定理涉及一个过程 两个状态 所谓一个过程是指做功过程 应明确该过程各外力所做的总功 两个状态是指初末两个状态的动能 选取研究对象 明确并分析运动过程 分析受力及各力做功的情况 受哪些力 每个力是否做功 在哪段位移过程中做功 正功 负功 做多少功 求出代数和 明确过程始末状态的动能Ek1及EK2 列方程W EK2一Ek1 必要时注意分析题目的潜在条件 补充方程进行求解 例3 总质量为M的列车 沿水平直轨道匀速前进 其末节车厢质量为m 中途与前面的车厢脱钩 司机发觉时 机车已行驶了s0距离 于是立即关闭油门 除去牵引力 设运动的阻力与车的重力成正比 机车的牵引力
6、是恒定的 当列车的两部分都停止 它们间的距离是多少 对车头kMgs0 k M m gs1 0 对脱钩车厢 Kmgs2 0 2 应用动能定理的优越性 1 由于动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系 所以对由初始状态到终止状态这一过程中物体运动性质 运动轨迹 做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究 就是说应用动能定理不受这些问题的限制 2 一般来说 用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题 用动能定理也可以求解 而且往往用动能定理求解简捷 可是 有些用动能定理能够求解的问题 应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解 可以说 熟练地应用动能定理求解问题 是一种高层次的思维和方
7、法 应该增强用动能定理解题的主动意识 3 用动能定理可求变力所做的功 在某些问题中 由于力F的大小 方向的变化 不能直接用W Fscos 求出变力做功的值 但可由动能定理求解 例4 如图所示 质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动 拉力为某个值F时 转动半径为R 当拉力逐渐减小到F 4时 物体仍做匀速圆周运动 半径为2R 则外力对物体所做的功的大小是 解析 设当绳的拉力为F时 小球做匀速圆周运动的线速度为v1 则有F mv12 R 当绳的拉力减为F 4时 小球做匀速圆周运动的线速度为v2 则有F 4 mv22 2R 在绳的拉力由F减为F 4的过程中 绳的拉力所做的功为
8、W mv22 mv12 FR 所以 绳的拉力所做的功的大小为FR 4 A选项正确 例5 质量为m的飞机以水平v0飞离跑道后逐渐上升 若飞机在此过程中水平速度保持不变 同时受到重力和竖直向上的恒定升力 该升力由其他力的合力提供 不含重力 今测得当飞机在水平方向的位移为L时 它的上升高度为h 求 1 飞机受到的升力大小 2 从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能 解析 1 飞机水平速度不变 L v0t 竖直方向的加速度恒定 h at2 消去t即得 由牛顿第二定律得 F mg ma 2 升力做功W Fh 在h处 vt at 3 应用动能定理要注意的问题 注意1 由于动能的大小
9、与参照物的选择有关 而动能定理是从牛顿运动定律和运动学规律的基础上推导出来 因此应用动能定理解题时 动能的大小应选取地球或相对地球做匀速直线运动的物体作参照物来确定 例6 如图所示质量为1kg的小物块以5m s的初速度滑上一块原来静止在水平面上的木板 木板质量为4kg 木板与水平面间动摩擦因数是0 02 经过2S以后 木块从木板另一端以1m s相对于地的速度滑出 g取10m s 求这一过程中木板的位移 解析 设木块与木板间摩擦力大小为f1 木板与地面间摩擦力大小为f2 对木块 一f1t mvt一mv0 得f1 2N 对木板 fl f2 t Mv f2 m M g 得v 0 5m s对木板 fl
10、 f2 s Mv2 得S 0 5m 注意2 用动能定理求变力做功 在某些问题中由于力F的大小的变化或方向变化 所以不能直接由W Fscos 求出变力做功的值 此时可由其做功的结果 动能的变化来求变为F所做的功 例7 质量为m的小球被系在轻绳一端 在竖直平面内做半径为R的圆周运动 运动过程中小球受到空气阻力的作用 设某一时刻小球通过轨道的最低点 此时绳子的张力为7mg 此后小球继续做圆周运动 经过半个圆周恰能通过最高点 则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为 A mgR 4B mgR 3C mgR 2D mgR 解析 小球在圆周运动最低点时 设速度为v1 则7mg mg mv12 R 设小球恰能
11、过最高点的速度为v2 则mg mv22 R 设设过半个圆周的过程中小球克服空气阻力所做的功为W 由动能定理得 mg2R W mv22 mv12 由以上三式解得W mgR 2 答案 C 注意3 区别动量 动能两个物理概念 动量 动能都是描述物体某一时刻运动状态的状态量 动量是矢量 动能是标量 动量的改变必须经过一个冲量的过程 动能的改变必须经过一个做功的过程 动量是矢量 它的改变包括大小和方向的改变或者其中之一的改变 而动能是标量 它的改变仅是数量的变化 动量的数量与动能的数量可以通过P2 2mEK联系在一起 对于同一物体来说 动能EK变化了 动量P必然变化了 但动量变化了动能不一定变化 例如动
12、量仅仅是方向改变了 这样动能就不改变 对于不同的物体 还应考虑质量的多少 例8 动量大小相等的两个物体 其质量之比为2 3 则其动能之比为 B A 2 3 B 3 2 C 4 9 D 9 4 解析 由Ek 可知 动量大小相等的物体 其动能与它们的质量成反比 因此动能的比应为3 2 例9 在水平面上沿一条直线放两个完全相同的小物体A和B 它们相距s 在B右侧距B2s处有一深坑 如图所示 现对A施以瞬间冲量 使物体A沿A B连线以速度v0开始向B运动 为使A与B能发生碰撞 且碰撞之后又不会落入右侧深坑中 物体A B与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件 设A B碰撞时间很短 A B碰撞后不再分离 解
13、析 A与B相碰 则 A和B碰前速度v1 A与B碰后共同速度v2 mv1 2mv2 AB不落入坑中 解得 综上 应满足条件 例10 如图所示 两个完全相同的质量为m的木板A B置于水平地面上它们的间距s 2 88m 质量为2m 大小可忽略的物块C置于A板的左端 C与A之间的动摩擦因数为 1 0 22 A B与水平地面的动摩擦因数为 2 0 10 最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力 开始时 三个物体处于静止状态 现给C施加一个水平向右 大小为的恒力F 假定木板A B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起 要使C最终不脱离木板 每块木板的长度至少应为多少 解答 设l为A或B板的长度 A C之间的滑动摩擦力大小
14、为f1 A与水平面的滑动摩擦力大小为f2 1 0 22 2 0 10 且 一开始A和C保持相对静止 在F的作用下向右加速运动 有 A B两木板的碰撞瞬间 内力的冲量远大于外力的冲量 由动量守恒定律得mv1 m m v2 碰撞结束后到三个物体达到共同速度的相互作用过程中 设木板向前移动的位移为s1 选三个物体构成的整体为研究对象 外力之和为零 则 设A B系统与水乎地面之间的滑动摩擦力大小为f3 对A B系统 由动能定理 对C物体 由动能定理 由以上各式 再代人数据可得l 0 3 m 注意4 动量定理与动能定理的区别 两个定理分别描述了力对物体作用效应 动量定理描述了为对物体作用的时间积累效应
15、使物体的动量发生变化 且动量定理是矢量武 而动能定理描述了力对物体作用的空间积累效应 使物体的动能发生变化 动能定理是标量式 所以两个定理分别从不同角度描述了为对物体作用的过程中 使物体状态发生变化规律 在应用两个定理解决物理问题晚要根据题目要求 选择相应的定理求解 例11 如图所示 在光滑的水平面内有两个滑块A和B 其质量mA 6kg mB 3kg 它们之间用一根轻细绳相连 开始时绳子完全松弛 两滑块靠在一起 现用了3N的水平恒力拉A 使A先起动 当绳被瞬间绷直后 再拖动B一起运动 在A块前进了0 75m时 两滑块共同前进的速度v 2 3m s 求连接两滑块的绳长 解析 本题的关键在于 绳子
16、瞬间绷直 时其张力可看成远大于外力F 所以可认为A B组成的系统动量守恒 此过程相当于完全非弹性碰撞 系统的机械能有损失 根据题意 设绳长为L 以绳子绷直前的滑块A为对象 由动能定理得FL mAv12 绳绷直的瞬间 可以认为T F 因此系统的动量守恒 mAv1 mA十mB v2 对于绳绷直后 A B组成的系统 看成一个整体 的共同运动过程 由动能定理F 0 75 L mA十mB v12 mA十mB v22 由式 一 解得L 0 25m答案 0 25m 4 动能定理的综合应用 动能定理和动量定理 动量守恒定律的综合应用是力学问题的难点 也是高考考查的重点 解决这类问题关键是分清哪一过程中动量守恒 哪一过程中应用动能定理 动量定理 例12 某地强风的风速约为v 20m s 设空气密度 1 3kg m3 如果把通过横截面积 20m2风的动能全部转化为电能 则利用上述已知量计算电功率的公式应为P 大小约为 W 取一位有效数字 P Ek 例13 两个人要将质量M 1000kg的小车沿一小型铁轨推上长L 5m 高h 1m的斜坡顶端 已知车在任何情况下所受的摩擦阻力恒为车重的0 12倍 两人能发挥的
