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1、解答题标准练(一)1(2018河北省衡水中学模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn(nN*),数列bn是等比数列,a13,b11,b2S210,a52b2a3.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)若cn设数列cn的前n项和为Tn,求T2n.解(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q(q0),a13,b11,b2S210,a52b2a3,解得d2,q2,an2n1(nN*),bn2n1(nN*)(2)由(1)知,Snn(n2),cnT2n(21232522n1)(nN*)2(2018南昌模拟)十九大提出:坚决打赢脱贫攻坚战,做到精准扶贫,某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫,坚持
2、扶贫同扶智相结合,帮助贫困村种植蜜柚,并利用互联网电商渠道进行销售为了更好地销售,现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重,其质量分布在区间1 500,3 000内(单位:克),统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示:(1)按分层抽样的方法从质量落在1 750,2 000),2 000,2 250)内的蜜柚中随机抽取5个,再从这5个蜜柚中随机抽取2个,求这2个蜜柚质量均小于2 000克的概率;(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均值,以频率代表概率,已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5 000个蜜柚待出售,某电商提出两种收购方案:A所有蜜柚均以40元/千克收购;B低于2 250克
3、的蜜柚以60元/个收购,高于或等于2 250的以80元/个收购请你通过计算为该村选择收益最好的方案解(1)由题意得蜜柚质量在1 750,2 000)和2 000,2 250)内的比例为23,应分别在质量为1 750,2 000),2 000,2 250)内的蜜柚中各抽取2个和3个记抽取质量在1 750,2 000)内的蜜柚为A1,A2,质量在2 000,2 250)内的蜜柚为B1,B2,B3,则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B
4、3),其中质量均小于2 000克的仅有(A1,A2)这1种情况,故所求概率为.(2)方案A好,理由如下:由频率分布直方图可知,蜜柚质量在1 500,1 750)的频率为2500.000 40.1,同理,蜜柚质量在1 750,2 000),2 000,2 250),2 250,2 500),2 500,2 750),2 750,3 000内的频率依次为0.1,0.15,0.4,0.2,0.05.若按方案A收购:根据题意各段蜜柚个数依次为500,500,750,2 000,1 000,250,于是总收益为401 000250(67)2(78)2(89)3(910)8(1011)4(1112)140
5、1 0002550(2630511528423)457 500(元)若按方案B收购:蜜柚质量低于2 250克的个数为(0.10.10.15)5 0001 750,蜜柚质量高于2 250克的个数为5 0001 7503 250,收益为1 750603 2508025020(73134)365 000(元),方案A的收益比方案B的收益高,应该选择方案A.3(2018威海模拟)如图,在多面体ABCDEF中,BCEF,BF,ABC是边长为2的等边三角形,四边形ACDF是菱形,FAC60,M,N分别是AB,DF的中点求证:(1)MN平面AEF;(2)平面ABC平面ACDF.证明(1)取AC的中点O,连接
6、OM,ON,因为M,N分别是AB,DF的中点,所以在菱形ACDF中,ONAF,又ON平面AEF,AF平面AEF,所以ON平面AEF.在ABC中,OMBC,又BCEF,所以OMEF,又OM平面AEF,EF平面AEF,所以OM平面AEF,又OMONO,所以平面OMN平面AEF,又MN平面OMN,所以MN平面AEF.(2)连接OF,OB,因为ABC是边长为2的等边三角形,所以BOAC,BO,因为四边形ACDF是菱形,所以AF2,因为FAC60,所以OFAC,OF,因为BF,所以BO2OF2BF2,所以BOOF.又FOACO,FO,AC平面ACDF,所以BO平面ACDF,又BO平面ABC,所以平面AB
7、C平面ACDF.4(2018咸阳模拟)已知椭圆C:1(ab0)的右焦点与抛物线y24x的焦点重合,且椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C的右顶点,过P点作两条直线分别与椭圆C交于另一点A,B,若直线PA,PB的斜率之积为,求证:直线AB恒过一个定点,并求出这个定点的坐标解(1)依题意得解得a2,b,即椭圆C的方程为1.(2)设直线AB的方程为xtym(2m0,y1y2,y1y2.设A(ty1m,y1),B(ty2m,y2),而P(2,0),则由kPAkPB,得,即4y1y29(ty1m2)(ty2m2)0,(49t2)y1y29t(m2)(y1y2)9(m2)20,即(4
8、9t2)9t(m2)9(m2)20,整理得m23m20,解得m1或m2(舍去),当m1时,满足0,直线AB的方程为xty1,即直线AB恒过定点(1,0)5(2018峨眉山模拟)已知函数f(x)ex(sin xax22ae),其中aR,e2.718 28为自然对数的底数(1)当a0时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当a1时,求证:对任意的x0,),f(x)0.(1)解当a0时,f(x)ex(sin xe),f(x)ex(sin xcos xe)ex0,f(x)在(,)上单调递减(2)证明要证ex0对任意的x0,)恒成立,即证sin xax22ae0对任意的x0,)恒成立,令g(a)(2x2)a
9、sin xe,即证当a时,g(a)(2x2)asin xe0恒成立,即证成立sin x1e,式成立现证明式成立:令h(x)sin xx22e,h(x)cos x2x,设存在x00,),使得h(x0)cos x02x00,则0x0,h(x)在(0,x0)上单调递增,在x0,)上单调递減,h(x)maxh(x0)sin x0x2esin x02esin x0e.0x0,sin x0,sin x0ee0.综上所述,当x0,)时,f(x)0恒成立6在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为6sin ,点P的极坐标为,以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系(1)求曲线C的直角坐标方程和点P的直角
10、坐标;(2)过点P的直线l与曲线C相交于A,B两点,若|PA|2|PB|,求|AB|的值解(1)由6sin ,得26sin ,又xcos ,ysin ,x2y26y,即曲线C的直角坐标方程为x2(y3)29,P点的直角坐标为(1,1)(2)设过点P的直线l的参数方程是(t为参数),将其代入x2y26y,得t22(cos 2sin )t40,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,t1t24,|PA|2|PB|,t12t2,t12,t2或t12,t2,|AB|t1t2|3.7(2018安徽省江南十校模拟)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)解不等式:f(x)x3;(2)若不等式|m|f(x)|m2|3m2|对任意mR恒成立,求x的取值范围解(1)由得2x6;由得1x2;由得0x1.由可得x0,6(2)当m0时,00,xR;当m0时,即f(x)对mR恒成立,4,当且仅当3,即0m时取等号,f(x)|x1|x2|4,当x2时,2x34,解得x;当1x2时,x12x4,解得x;当x1时,32x4,解得x,综上,x的取值范围为.7