《高考数学二轮复习第一篇专题六解析几何第2讲直线与圆锥曲线的位置关系教案文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学二轮复习第一篇专题六解析几何第2讲直线与圆锥曲线的位置关系教案文（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2讲直线与圆锥曲线的位置关系1.(2017全国卷,文12)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为(C)(A)5(B)22(C)23(D)33解析:已知y2=4x,所以F(1,0),MF方程为y=3(x-1),联立得M(3,23),准线l:x=-1,N(-1,23),NF方程:y-0=-3(x-1)即3x+y-3=0,则M到NF的距离d=23,故选C.2.(2018全国卷,文20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)
2、求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1)y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2
3、)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.3.(2017全国卷,文20)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1+x2=4,y1=,y2=,故直线AB的斜率为k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.(2)由y=,得y=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2
4、-4x-4m=0.当=16(m+1)0,即m-1时,x1,2=22.从而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即42(m+1)=2|m+1|,解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.1.考查角度主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、面积及轨迹问题.2.题型及难易度选择题、解答题,难度为中档、中档偏上.(对应学生用书第3840页) 直线与圆锥曲线的位置关系的判断【例1】 (2016全国卷)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH|ON
5、|;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.解:(1)由已知得M(0,t),P,t.又N为M关于点P的对称点,故Nt2p,t,ON的方程为y=ptx,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=,因此H,2t,所以N为OH的中点,即|OH|ON|=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.判断直线与圆锥曲线的位置关系有两种常用方法(1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方
6、程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标.(2)几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数.热点训练1:已知顶点是坐标原点,对称轴是x轴的抛物线经过点A12,-2.(1)求抛物线的标准方程;(2)直线l过定点P(-2,1),斜率为k,若直线与抛物线有公共点,求k的取值范围.解:(1)依题意,设抛物线的方程为y2=2px,把A点的坐标12,-2代入方程得(-2)2=2p12,解得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x.(2)直线l的方程为y-1=k(x+2),即y=kx+2k+1,联立方程组消去x,得ky2-4
7、y+4(2k+1)=0.当k=0时,得y=1,代入y2=4x,得x=14,这时直线与抛物线有一个公共点14,1.当k0时,依题意得=(-4)2-4k4(2k+1)0,解得-1k0或0b0)经过点P-3,12,椭圆E的一个焦点为(3,0).(1)求椭圆E的方程;(2)若直线l过点M(0,2)且与椭圆E交于A,B两点,求|AB| 的最大值.解:(1)依题意,椭圆E的左、右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),由椭圆E经过点P-3,12,得|PF1|+|PF2|=4=2a,所以a=2,c=3,所以b2=a2-c2=1.所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y
8、=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).由y=kx+2,x24+y2=1得(1+4k2)x2+82kx+4=0.由0得(82k)2-4(1+4k2)40,所以4k21.由x1+x2=-,x1x2=41+4k2得|AB|=(x1+x2)2-4x1x2=2-6(11+4k2)2+11+4k2+1.设t=11+4k2,则0t12,所以|AB|=2=2566,当且仅当t=时等号成立,当直线l的斜率不存在时,|AB|=2b0)经过点1,32,离心率为12.(1)求椭圆E的方程;(2)设点A,F分别为椭圆的右顶点、右焦点,经过点F作直线交椭圆于C,D两点,求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点
9、).解:(1)由题设得1a2+94b2=1,ca=12,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,c=1.所以椭圆方程为+=1.(2)设直线CD的方程为x=ky+1,C(x1,y1),D(x2,y2),与椭圆方程+=1联立,消去x,得(3k2+4)y2+6ky-9=0,所以y1+y2=-6k3k2+4,y1y2=-93k2+4,所以S四边形OCAD=SOCA+SODA=122|y1|+122|y2|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=12k2+13k2+4=(其中t=,t1).因为当t1时,y=3t+单调递增,所以3t+4,所以S四边形OCAD3(当k=0时取等号),即四边形OCAD面
10、积的最大值为3.中点弦问题【例3】 求一个焦点是F(0,52),并截直线y=2x-1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程.解:法一(设而不求)设所求的椭圆方程为y2a2+x2b2=1(ab0),直线被椭圆所截弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),由消y得(4b2+a2)x2-4b2x+b2-a2b2=0,所以x1+x2=,因为c=52,所以b2=a2-c2=a2-50,所以x1+x2=,由题意知x1+x22=27,x1+x2=47,所以=47,解得a2=75,所以b2=25,方程为175x2-100x-1 850=0,即7x2-4x-74=0,此时0,故所求椭圆的标准方程为y27
11、5+x225=1.法二(点差法)设所求的椭圆方程为y2a2+x2b2=1(ab0),直线被椭圆所截弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2).由题意,可得弦AB的中点坐标为x1+x22,y1+y22,且x1+x22=27,y1+y22=-37.将A,B两点坐标代入椭圆方程中,得y12a2+x12b2=1,y22a2+x22b2=1.两式相减并化简,得a2b2=-y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=-2=3,所以a2=3b2.又c2=a2-b2=50,所以a2=75,b2=25.所以椭圆方程为y275+x225=1,把y=2x-1代入,化简得7x2-4x-74=0,此时0,故所求椭圆的标
12、准方程为y275+x225=1.(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关系时,要注意使用条件0,在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交.(2)圆锥曲线以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率分别是k=-b2x0a2y0椭圆+y2b2=1,k=b2x0a2y0双曲线x2a2-y2b2=1,k=py0(抛物线y2=2px).其中k=y2-y1x2-x1(x1x2),(x1,y1),(x2,y2)为弦的端点坐标.热点训练3: 过点M(1,1)的直线与椭圆+=1交于A,B两点,且点M平分弦AB,则直线AB的方程为()(A)4x+3y-7=0(
13、B)3x+4y-7=0(C)3x-4y+1=0(D)4x-3y-1=0解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).易得+=1,+=1,两式相减,整理得+=0.由M(1,1)是弦AB的中点得x1+x2=2,y1+y2=2,所以有+=0,得y1-y2x1-x2=-34,即直线AB的斜率k=-34,所以,直线AB的方程为y-1=-34(x-1),即3x+4y-7=0.故选B.求轨迹方程考向1直接法【例4】 已知两点A(2,0),B(-2,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y),所以=(-x,0),=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.考向2定义法求轨迹方程【例5】 (2018郑州市二次质检)已知动圆E经过点F(1,0),且和直线x=-1相切.(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程;(2)已知A(3,0),若斜率为1的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A),且与曲线G交于B,C两点,求A
