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1、第1讲直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质1.(2018全国卷,文4)已知椭圆C:x2a2+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(C)(A)13(B)12(C)(D)223解析:因为a2=4+22=8,所以a=2,所以e=ca=222=.故选C.2.(2018全国卷,文6)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为(A)(A)y=2x(B)y=3x(C)y=x(D)y=x解析:双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为bxay=0.又因为离心率ca=a2+b2a=3,所以a2+b2=3a2.所以b=2a(a0,b0).所以渐近线方程为2axay=0,即y=2
2、x.故选A.3.(2018全国卷,文8)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是(A)(A)2,6(B)4,8(C)2,32(D)22,32解析:由题意知圆心的坐标为(2,0),半径r=2,圆心到直线x+y+2=0的距离d=22,所以圆上的点到直线的最大距离是d+r=32,最小距离是d-r=2.易知A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=22,所以2SABP6.即ABP面积的取值范围是2,6.故选A.4.(2018全国卷,文10)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,则点(4,0)到C的渐近线的
3、距离为(D)(A)2(B)2(C)322(D)22解析:由题意,得e=ca=2,c2=a2+b2,得a2=b2.又因为a0,b0,所以a=b,渐近线方程为xy=0,点(4,0)到渐近线的距离为=22.故选D.5.(2018全国卷,文11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率为(D)(A)1-(B)2-3(C)(D)3-1解析:由题设知F1PF2=90,PF2F1=60,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=3c.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即3c+c=2a,所以(3+1)c=2a,故椭圆C的离心率e=c
4、a=3-1.故选D.6.(2015全国卷,文7)已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则ABC外接圆的圆心到原点的距离为(B)(A)53(B)213(C)253(D)43解析:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以1+D+F=0,3+3E+F=0,7+2D+3E+F=0,所以所以ABC外接圆的圆心为1,233,故ABC外接圆的圆心到原点的距离为=213.故选B.1.考查角度(1)圆的方程、直线与圆的位置关系.(2)椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质.2.题型及难易度选择、填空题,有时也可能出直线与位置关系的解答题,难度为中、低档.(对应学生用书第3637页) 直线
5、与圆考向1圆的方程【例1】 一个圆经过椭圆x216+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.解析:由题意知a=4,b=2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,-2),右顶点的坐标为(4,0).由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0,-2),(4,0)三点.设圆的标准方程为(x-m)2+y2=r2(0m0),则m2+4=r2,(4-m)2=r2,解得所以圆的标准方程为x-322+y2=.答案:x-322+y2=考向2直线与圆的位置关系【例2】 (2018全国卷)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.解析:由x2+y2+2y-3=0
6、,得x2+(y+1)2=4.所以圆心C(0,-1),半径r=2.圆心C(0,-1)到直线x-y+1=0的距离d=2,所以|AB|=2r2-d2=24-2=22.答案:22(1)求圆的方程一般有两类方法:几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量;代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件列出方程组求得各系数.如果已知条件与圆心、半径有关,常设圆的标准方程求解;如果已知条件与圆心、半径无直接关系,常设圆的一般方程求解.(2)处理直线与圆的位置关系问题时,主要是几何法,即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断,并依据圆的几何性质求解;直线与圆相交涉及弦长问题时,
7、主要依据弦长的一半、弦心距、半径恰构成一直角三角形的三边进行求解;经过圆内一点,垂直于过这点的半径的弦最短.热点训练1:(2018天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.解析:法一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),所以解得D=-2,E=0,F=0.所以圆的方程为x2+y2-2x=0.法二画出示意图如图所示,则OAB为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=0热点训练2:(2016全国卷)设直
8、线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.解析:因为x2+y2-2ay-2=0,所以x2+(y-a)2=2+a2,点(0,a)到直线y=x+2a的距离d=|a|2.2+a2-=3,所以a2=2,所以r2=2+a2=4,圆面积S=r2=4.答案:4圆锥曲线的定义与标准方程考向1圆锥曲线的定义及应用【例3】 点P是双曲线x216-=1的右支上一点,点M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的动点,则|PM|-|PN|的最小值为()(A)3(B)4(C)5(D)6解析:a=4,b=3,c=5,所以双曲线两个焦点分别是F1(
9、-5,0)与F2(5,0),恰好为圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1的圆心,半径分别为r1=2,r2=1,因为|PF1|-|PF2|=2a=8,所以|PM|min=|PF1|-r1=|PF1|-2,|PN|max=|PF2|+r2=|PF2|+1,所以(|PM|-|PN|)min=(|PF1|-2)-(|PF2|+1)=8-3=5.故选C.考向2圆锥曲线的方程【例4】 (2018山西省八校第一次联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为,直线l经过椭圆的上顶点A和右顶点B,并且和圆x2+y2=3613相切,则椭圆C的方程为()(A)x218+y210=1(B)+
10、=1(C)x218+=1(D)+=1解析:由已知可得e2=59,所以a2=94b2,即a=32b.因为椭圆C的上顶点A(0,b),右顶点B(a,0),所以直线l的方程为xa+yb=1,即2x+3y-3b=0.因为直线l与圆x2+y2=3613相切,所以圆心(即原点)到直线l的距离等于圆的半径,即=,解得b=2,所以a=3,所以椭圆C的方程为+=1.故选D.(1)解有关圆锥曲线焦半径问题,常考虑用定义求解.(2)求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.计算,即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确
11、定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a0),椭圆常设mx2+ny2=1(m0,n0),双曲线设为mx2-ny2=1(mn0).热点训练3:如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,F1PF2=120,则a的值为()(A)2(B)3(C)4(D)5解析:因为b2=2,c=,所以|F1F2|=2.又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2a-4,由余弦定理得cos 120=42+(2a-4)2-(2a2-2)224(2a-4)=-12,解得a=3.故选B.热点训练4:(2018福州市第一学期期末)已知双曲线C的两个焦点F1,F2都在
12、x轴上,对称中心为原点O,离心率为3.若点M在C上,且MF1MF2,M到原点的距离为3,则C的方程为()(A)-=1(B)-=1(C)x2-=1(D)y2-=1解析:由题意可知,OM为RtMF1F2斜边上的中线,所以|OM|=12|F1F2|=c.由M到原点的距离为3,得c=3,又e=ca=3,所以a=1,所以b2=c2-a2=3-1=2.故双曲线C的方程为x2-=1.故选C.圆锥曲线的几何性质【例5】 (2018广东广州海珠区一模)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线与圆x2+(y-3)2=1相切,则双曲线的离心率为()(A)2(B)3(C)2(D)3解析:因为双曲线x2a
13、2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线为bxay=0,依题意,直线bxay=0与圆x2+(y-3)2=1相切,设圆心(0,3)到直线bxay=0的距离为d,则d=1,所以8a2=b2,c2=a2+b2=9a2,所以双曲线离心率e=ca=3.故选D.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.热点训练5:(2018广西柳州市一模)已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆+y2b2=1(ab0)上一点,若
14、PF1PF2,tanPF2F1=2,则椭圆的离心率e等于()(A)(B)13(C)23(D)12解析:法一因为点P是以F1,F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点,PF1PF2,tanPF2F1=2,所以|PF1|PF2|=2,设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由椭圆定义知x+2x=2a,所以x=2a3,所以|PF2|=2a3,则|PF1|=4a3,由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,解得c=a,所以e=ca=,选A.法二由PF1PF2,tanPF2F1=2.不妨设|PF1|=2,|PF2|=1,则|F1F2|=5.所以2a=|PF1|+|PF2|=3,2c=5.所以e=ca=.故选A.热点训练6:椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,若以线段F1F2为直径的圆与椭圆有交点,则椭圆C的离心率的取值范围是.解析:由题意可知,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,将其代入椭圆方程,消去y得(a2-b2)x2+a2b2-a2c2=0.因为圆与椭圆有交点,所以=0-4(a2-b2)(a2b2-a2c2)0,所以a2c2(a2-2c2)0,所以a22c2,即e=,又椭圆的离心率e1,所以e1.答案:,1 【例1】 (2018江西赣州红色七校联考)已知圆C
