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1、第5讲导数的热点问题1.2018全国卷 已知函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a1时,f(x)+e0.试做_命题角度利用导数的几何意义解决切线问题(1)曲线、切线、切点之间有以下关系:切点处的导数值是切线的斜率;切点在切线上;切点在曲线上.(2)利用导数的几何意义解决切线问题:关键一,对函数求导得f(x),利用导函数与切线斜率的关系建立方程或不等式;关键二,根据直线方程的相关知识解决问题.(3)解决与切线有关的参数问题,通常根据关系列方程,解出参数.2.2017全国卷 已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2
2、)若f(x)0,求a的取值范围.试做_命题角度利用导数研究函数的单调性(1)用导数法判断和证明函数f(x)在区间(a,b)内的单调性的步骤:求f(x);确定f(x)在区间(a,b)内的符号(若含有参数,则依据参数的取值讨论符号);得出结论,f(x)0时函数f(x)为增函数,f(x)0时,f(x)2a+aln.试做_命题角度利用导数研究方程根(函数零点)和用导数证明不等式(1)利用导数研究方程根(函数零点)的一般步骤:通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等;根据题目要求,画出函数图像的走势规律,标明函数极(最)值的位置;通过数形结合的思想去分析问题,得出方程根(函数零点)的情况.(
3、2)利用导数证明不等式的一般思路为:若证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果F(x)0,那么F(x)在(a,b)上是减函数,同时若F(a)0,则由减函数的定义可知,当x(a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)g(x).解答1导数的简单应用1 已知函数f(x)=x2+ax-aex,g(x)为f(x)的导函数.(1)求函数g(x)的单调区间;(2)若函数g(x)在R上存在最大值0,求函数f(x)在0,+)上的最大值.听课笔记 _【考场点拨】高考中对导数的简单应用考查的常考点:(1)导数的简单应用一般考查导数的几何意义,利用导数求单调区间、极值和最值,
4、在含有参数时常利用分类讨论的思想,分类的原则是极值点,常用列表法求极值;(2)在求解已知函数单调性求参数的取值范围问题时常用分离参数法,其方法是若可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减),则可以得出在这个区间内f(x)0(或f(x)0),从而转化为不等式恒成立问题去解决.解答2导数与函数的零点或方程根问题2 2018全国卷 已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.听课笔记 _【考场点拨】高考中导数与函数的零点或方程根问题的解题思路:(1)方程的根、函数的零点、函数的图像与x轴交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类
5、问题可以通过函数的单调性、极值与最值求解;(2)画出函数图像的走势,通过数形结合思想直观求解.【自我检测】已知函数f(x)=(1+ax2)ex-1.(1)当a0时,讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)在区间0,1上恰有2个零点,求实数a的取值范围.解答3导数与不等式恒成立、存在性问题3 已知函数f(x)=(x2-1)ex+x.(1)求f(x)在,1上的最值;(2)设g(x)=f(x)+ex-x,(x)=kx,若(x)g(x)恒成立,试求k的取值范围.听课笔记 _4 已知函数f(x)=x+,g(x)=-aln x(aR). (1)当a=1时,证明:f(x)g(x)+x+1;(2)证明:存在实数a,使得曲线y=f(x)与y=g(x)有公共点,且在公共点处有相同的切线.听课笔记 _
