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1、课时分层作业 四十五直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018秦皇岛模拟)直线x+y+1=0的倾斜角是()A.B.C.D.【解析】选D.由直线的方程得直线的斜率为k=-,设倾斜角为,则tan =-,又0,),所以=.【变式备选】设直线l与x轴的交点是P,且倾斜角为,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45,得到直线的倾斜角为+45,则()A.0180B.0135C.0180D.0135【解析】选D.因为所以0135.2.已知A(3,4),B(-1,0),则过AB的中点且倾斜角为120的直线方程是()A.x-y+2-=0B.x-y+1-2=0C.x+y-2-=0D
2、.x+3y-6-=0【解析】选C.由题意可知AB的中点坐标为(1,2),且所求直线的斜率k=tan 120 =-,所以直线方程为y-2=-(x-1),即x+y-2-=0.3.在等腰三角形AOB中,AO=AB,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为()A.y-1=3(x-3)B.y-1=-3(x-3)C.y-3=3(x-1)D.y-3=-3(x-1)【解析】选D.因为AO=AB,所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数,所以kAB=-kOA=-3,所以直线AB的点斜式方程为y-3=-3(x-1).4.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则
3、()A.k1k2k3B.k2k1k3C.k3k2k1D.k1k3k2【解析】选B.因为l3的倾斜角为锐角,l1,l2的倾斜角为钝角,所以k1,k2都是负数,k3是正数,所以k3最大,排除C,D,又l1的倾斜角大于l2的倾斜角,所以k2k10,所以k2k1k3.【变式备选】下列描述中正确的是()A.直线的倾斜角越大,斜率也越大B.斜率为2的直线有且仅有一条C.每一条直线都有纵截距D.过点P(-1,2),但是不过第三象限的直线的斜率的取值范围是-2k0【解析】选D.因为直线的倾斜角(0,且)与斜率k的关系为k=tan ,如图,所以A错误,因为斜率为2的直线有无数条,所以B错误,因为垂直于x轴的直线
4、(不含y轴)没有纵截距,所以C错误,如图过点P(-1,2),但是不过第三象限的直线的斜率的取值范围是-2k0,所以D正确.5.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率k的取值范围是()A.-1k1或k或k或k-1【解析】选D.直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,则-31-或k1),当此直线在x,y轴上的截距和最小时,实数a的值是()A.1B.C.2D.3【解析】选D.当x=0时,y=a+3,当y=0时,x=,令t=a+3+=5+(a-1)+.因为a1,所以a-10.所以t5+2=9.当且仅当a-1=,即a=
5、3时,等号成立.二、填空题(每小题5分,共15分)6. 若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角是直线4x-3y+2 019=0的倾斜角的一半,则y的值为_.【解析】因为直线4x-3y+2 019=0的斜率为,所以由倾斜角的定义可知直线4x-3y+2 019=0的倾斜角满足tan =,因为0,),所以,所以=,解得tan=,由已知及倾斜角与斜率的关系得=,所以y=-.答案:-【变式备选】一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为_.【解析】设所求直线的方程为+=1,因为A(-2,2)在直线上,所以-+=1.又因为直线与坐标轴围成的三角
6、形面积为1,所以|a|b|=1.由可得(1)或(2)由(1)解得或方程组(2)无解.故所求的直线方程为+=1或+=1,即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.答案:x+2y-2=0或2x+y+2=07.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB有公共点,则b的取值范围是_.【解析】因为b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值.所以b的取值范围是-2,2.答案:-2,2【变式备选】已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ
7、有交点,则实数m的取值范围是_.【解析】如图所示,直线l:x+my+m=0过定点A(0,-1),当m0时,kQA= ,kPA=-2,kl=-.所以-2或-.解得0m或-m0;当m=0时,直线l的方程为x=0,与线段PQ有交点,所以实数m的取值范围为-m.答案:-m8.若直线l的斜率为k,倾斜角为,而,则k的取值范围是_.【解析】因为k=tan ,所以-k0,b0).则直线l的方程为+=1,则+=1,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=2+2+2=4,当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.(2)设直线l的斜率为k,则k0,直线l的方程为y-1=k(x-1),则A,
8、 B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=+12+12+(1-1+k)2=2+k2+2+2=4,当且仅当k2=,即k=-1时,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此时直线l的方程为x+y-2=0.5.(13分)已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程: (1)过定点A(-3,4).(2)斜率为.【解析】(1)设直线l的方程为y=k(x+3)+4,它在x轴,y轴上的截距分别是- -3,3k+4,由已知,得(3k+4)=6,解得k1=-或k2=-.故直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.(2)设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,由已知,得|-6bb|=6,所以b=1.所以直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.- 10 -
