《高考数学一轮复习第五章数列课时分层作业三十二5.3等比数列及其前n项和理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第五章数列课时分层作业三十二5.3等比数列及其前n项和理（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时分层作业 三十二等比数列及其前n项和一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,且S3=14,a3=8,则a6=()A.16B.32C.64D.128【解析】选C.由题意得,等比数列的公比为q,由S3=14,a3=8,则解得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=225=64,故选C.2.(2017全国卷)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为 ()A.-24B.-3C.3D.8【解析】选A.设等差数列的公差为d,d0,=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),d2=-2d
2、(d0),所以d=-2,所以S6=61+(-2)=-24.3.(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯导学号12560576 ()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【解析】选B.设塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由=381可得x=3.4.(2018临沂模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn=a2n-1+,则a的值为()A.-B.C.-D.【解析】选A.当n2时,an=Sn-Sn-1=a2n-
3、1-a2n-2=a2n-2,当n=1时,a1=S1=a+,又因为an是等比数列,所以a+=,所以a=-.5.在公比为的等比数列an中,若sin(a1a4)=,则cos(a2a5)的值是()A.-B.C.D.【解析】选B.由等比数列的通项公式可知a2a5=(a1a4)q2=2(a1a4),cos(a2a5)=1-2sin2(a1a4)=1-2=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017北京高考)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=_.【解析】设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由题意得-1+3d=-q3=8d=3,q=-2=1.答案:17.
4、已知数列an是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2a3+a2a3a4+anan+1an+2=_.【解析】设数列an的公比为q,则q3=,解得q=,a1=4.易知数列anan+1an+2是首项为a1a2a3=421=8,公比为q3=的等比数列,所以a1a2a3+a2a3a4+anan+1an+2=(1-2-3n).答案:(1-2-3n)8.(2015湖南高考)设Sn为等比数列的前n项和,若a1=1且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=_.【解题指南】由3S1,2S2,S3成等差数列,可求得公比q=3,然后求an.【解析】因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以22(a1+a2)=3a1+a
5、1+a2+a3a3=3a2q=3,所以an=a1qn-1=3n-1.答案:3n-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018烟台模拟)已知等差数列an中,a1=1,且a1,a2,a4+2成等比数列.(1)求数列an的通项公式及其前n项和Sn.(2)设bn=,求数列bn的前2n项和T2n.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,因为a1=1,且a1,a2,a4+2成等比数列.所以=a1(a4+2),即(1+d)2=1(1+3d+2),解得d=2或-1.其中d=-1时,a2=0,舍去.所以d=2,可得an=1+2(n-1)=2n-1.Sn=n2.(2)bn=.所以当n为偶数时,=16.当n
6、为奇数时,=.所以数列bn的奇数项是以为首项,为公比的等比数列;偶数项是以8为首项,16为公比的等比数列.所以数列bn的前2n项和T2n=(b1+b3+b2n-1)+(b2+b4+b2n)=+=(16n-16-n).10.(2015广东高考改编)设数列an的前n项和为Sn,nN*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.(1)求a4的值.(2)证明:为等比数列.【解析】(1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4+5=8+1,解得a4=.(2)由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n2),4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+
7、1-4Sn(n2),即4an+2+an=4an+1(n2).因为4a3+a1=4+1=6=4a2,所以4an+2+an=4an+1,所以=,所以数列是以a2-a1=1为首项,为公比的等比数列.1.(5分)(2018福州模拟)已知数列an满足log3an+1=log3an+1(nN*),且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值是()A.-5B.-C.5D.【解析】选A.因为log3an+1=log3an+1,所以an+1=3an.所以数列an是公比q=3的等比数列,所以a2+a4+a6=a2(1+q2+q4)=9.所以a5+a7+a9=a5(1+q2+q4)=a2q3(1+q2+q
8、4)=35.所以lo35=-5.【变式备选】等比数列an满足an0,nN*,且a3a2n-3=22n(n2),则当n1时,log2a1+log2a2+log2a2n-1=_.【解析】由等比数列的性质,得a3a2n-3=22n,从而得an=2n.所以log2a1+log2a2+log2a2n-1=log2(a1a2n-1)(a2a2n-2)(an-1an+1)an=log22n(2n-1)=n(2n-1)=2n2-n.答案:2n2-n2.(5分)已知数列an为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为()A.10B.20C.100D.200【解析】选C.a7(a1+2a
9、3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9=+2a4a6+=(a4+a6)2=102=100.3.(5分)(2016全国卷)设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为_.【解析】由于an是等比数列,设an=a1qn-1,其中a1是首项,q是公比.所以解得:故an=,所以a1a2an=.当n=3或4时,取到最小值-6,此时取到最大值26=64.所以a1a2an的最大值为64.答案:644.(12分)(2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0. (1)证明an是等比数列,并求其通项公式.(2)若S5=,求.【解析】(1)由题意得a1=S1=
10、1+a1,故a1=,由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,所以=,因此数列an是以a1=为首项,以为公比的等比数列,an=.(2)由(1)得Sn=1-,又因为S5=,所以=1-,即=,解得=-1.5.(13分)(2018郑州模拟)已知数列an满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n2). (1)求证:an+1+2an是等比数列.(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)因为an+1=an+6an-1(n2),所以an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n2).因为a1=5,a2=5,所以a2+2a1=15,所以an+2an-10(n2),所以=3(n2),所以数列an+1+2an是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)由(1)得an+1+2an=153n-1=53n,则an+1=-2an+53n,所以an+1-3n+1=-2(an-3n).又因为a1-3=2,所以an-3n0,所以an-3n是以2为首项,-2为公比的等比数列.所以an-3n=2(-2)n-1,即an=2(-2)n-1+3n.- 7 -
