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1、第14讲导数的综合应用高考统计定方向热点题型真题统计命题规律题型1：“辅助函数法”证明不等式(构造法)2018全国卷T21；2018全国卷T212017全国卷T21；2016全国卷T211.每年必考内容，出现在压轴题的位置，难度很大.2.利用导数研究函数的零点问题是近几年高考的一个亮点，热点内容，应引起高度重视.题型2：“转化法”解决不等式恒成立中的参数问题2017全国卷T21；2017全国卷T212016全国卷T20；2014全国卷T21题型3：“图象辅助法”解决函数零点或方程根的问题2018全国卷T21；2016全国卷T212015全国卷T21；2014全国卷T21题型1“辅助函数法”证明
2、不等式(构造法)利用导数证明不等式是近几年高考考查的热点，重点考查利用导数研究函数的单调性，求极值、最值的方法以及转化与化归、函数与方程、分类讨论的思想高考考法示例【例1】(2018全国卷)已知函数f(x)aexln x1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.思路点拨(1)(2)解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f(x)ex.当0x2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增(2)证明：当a时，f(x)ln x1.设g(x
3、)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f(x)0.方法归纳构造辅助函数的4种方法【教师备选】(2017全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0，故f(x)在(0，)上单调递增若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明：由(1)知，当a0；当x(1，)时，g(x)0时，g(x)0.从而当aln ln 31知，g(x)的最小值为g(ln 3)3(1ln 3a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调
4、递增于是当alnln 31时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx23ax1，故x3a.题型2“转化法”解决不等式恒成立中的参数问题利用导数解决不等式恒成立问题是高考常考考点，主要考查利用导数研究函数的单调性，求函数最值的方法，以及转化与化归，函数与方程、分类讨论的思想高考考法示例【例2】(2017全国卷)已知函数f(x)ex(exa)a2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围. 解(1)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，则f(x)e2x在(，)上单调递增若
5、a0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增若a0，则由(1)得，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a2ln a.从而当且仅当a2ln a0，即0a1时，f(x)0.若a0，则由(1)得，当xln时，f(x)取得最小值，最小值为fa2，从而当且仅当a20，即2ea0时，f(x)0.综上，a的取值范围是2e，1方法归纳解决不等式恒成立问题的两种方法(1)分离参数法：若能够将参数分离，且分离后含x变量的函数关系式的最值易求，则用分离参数法.,即：f(x)
6、恒成立，则f(x)max.f(x)恒成立，则f(x)min.(2)最值转化法：若参数不易分离或分离后含x变量的函数关系式的最值不易求，则常用最值转化法.可通过求最值建立关于参数的不等式求解.如f(x)0，则只需f(x)min0.(教师备选)已知函数f(x)exx2(1m)x1(e为自然对数的底数，m为常数)(1)若曲线yf(x)与x轴相切，求实数m的值；(2)若存在实数x1，x20,1使得2f(x1)0恒成立，即f(x)0对x0恒成立，此时f(x)没有极值点当a240，即a2时，若a2，设方程x2ax10的两个不同实根为x1，x2，不妨设x10，x1x210，故x2x10，当0xx2时，f(x
7、)0；当x1xx2时，f(x)2，设方程x2ax10的两个不同实根为x3，x4，则x3x4a0时，f(x)0，故函数f(x)没有极值点综上，当a0，所以ax0恒成立，设(x)(x0)，(x)，x0，当x(0,1)时，(x)0，(x)单调递减，当x(1，)时，(x)0，(x)单调递增，(x)(1)e1，ae1，即实数a的取值范围是(，e1题型3“图象辅助法”解决函数零点或方程根的问题核心知识储备导数法研究方程的根或函数的零点问题是指利用导数研究对应函数的单调性与极值，进而画出函数的大致图象，并根据图象判断方程的根或函数的零点个数等破解此类题的关键点如下：定函数，即确定与方程对应的函数或研究零点问
8、题中的函数解析式求性质，求解函数f(x)的导函数f(x)，根据f(x)的符号变化研究函数的单调性，求出函数的极值，画出函数的大致图象列关系，根据函数图象的分布判断函数的零点个数，或根据零点个数列出参数所满足的关系式得结论，求解关系式，得出结论高考考法示例【例3】(2018全国卷)已知函数f(x)x3a(x2x1)(1)若a3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点解(1)当a3时，f(x)x33x23x3，f(x)x26x3.令f(x)0解得x32或x32.当x(，32)(32，)时，f(x)0；当x(32，32)时，f(x)0，所以f(x)0等价于3a0.设g(x)3a，则g(x)0，仅当x0时g(x)0，所以g(x)在(，)单调递增故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点又f(3a1)6a22a6a20，故f(x)有一个零点综上，f(x)只有一个零点方法归纳判断函数零点个数的常用方法(1)直接研究函数，求出极值以及最值，画
