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1、华东师大2009年数学分析考研试题1 判断下列各题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例.1. 设，此处均为实数，则.2. 设为闭区间上不恒为零的连续函数，为Dirichlet函数，则在上不可积.3. 存在实数，使得.4. 已知在处连续，且，证明在处可导.5. 如果在处可导，则在的一个邻域内连续.6. 若多项式函数列在上一致收敛于函数，则必是多项式函数.2 计算下列各题1. 设，求极限.2. 设圆盘上的各点的密度等于该点到其圆心的距离，求此圆盘的质量.3. 设为中封闭光滑曲面，为任何固定方向，为曲面的外法线方向，求.3 证明下列各题1. 设是曲面外一点，若，求证直线是在点处的法线.2. 设，
2、证明在原点处沿任何方向的的方向导数存在，但不可微.3. 设，均为实数，已知在上单调，值域为，证明在上一致连续.4. 设数列满足条件：，且，证明数列无界.5. 设在上连续且有界，证明对任意正数，存在，使得.6. 设函数在闭区间上可积，证明 若对任意，有，则存在，使得对任意，均有.华东师大2009年数学分析考研试题解答一1.解 错误.反例. 设，显然，但，.2. 解 正确.由在上连续不恒为零，可知，存在，使得在上有，显然在上不可积，从而在上不可积.3. 解 正确.可选取到周期为的连续可微函数，且当时，；时，取，为的Fourier系数，则有，结论得证.4. 解 正确，因为，所以在处可导.5. 解 错
3、误.反例 设，显然在处可导，但在处不连续.6、设实系数多项式序列在上一致收敛于实值函数，证明：也是多项式。证明 因为实系数多项式序列在上一致收敛于实值函数，所以对任意，存在，使得当时，有，又因为也是多项式，若不为常数，则当趋于无穷时，也趋于无穷，矛盾。所以，其中为一无穷小序列。 由上面结论及是多项式，可知当时，其中为某一固定的多项式，为某一收敛数（因为为柯西列）因为由已知条件，一致收敛于0,及，所以有，即也是多项式，结论得证。二1.解 ， ，当时，当时，.2. 解 .3. 解 设，则，利用高斯公式，则有 .三1.证明 设，显然在上连续，为有界闭集，在上达到最大值，设在处达到最大值，令，令，在处
4、取到条件极值，必是的驻点，即得满足，曲面在的法线方向为，所以直线是在点处的法线.2. 证明 由，即得，表及里所以在处连续，对任意方向，存在，显然，当，时，的极限不存在，所以在处不可微.3. 证明 因为函数的值域为开区间，所以在上具有介值性质，又在上单调，可以得到在上连续，由在上单调有界，所以，存在且有限，从而知在上一致连续.4. 证明 用反证法假若数列有界，存在，使得，由条件知 ，对，存在正整数，当时，有，令，则有，于是有，从而显然有，这与矛盾，所以数列无界.5、 设在区间上连续有界，且对某个，对所有，有，试证：存在数列，使得。证明 ，依题设条件，可得必有或，不妨设， 我们断定，对于任意大的，不可能对所有，恒有，否则由,这与的有界性矛盾，所以任取，存在，使得，所以 ，结论得证。注：。 6、设函数在区间上Riemann可积，且.试证明：存在闭区间，使得当时，.证明：反证法，假设对任意区间，都存,使，任意分割，都存在,使得,于是，与题设条件，矛盾.8
