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1、无穷级数 第一节数项级数及其敛散性第二节幂级数 一 常数项级数及其敛散性1 常数项级数的概念定义1设给定一个数列则表达式 11 1 称为常数项无穷级数 简称数项级数 记作即其中第n项称为一般项或通项 第一节常数项级数及其敛散性 例如 级数的一般项为又如级数的一般项为简言之 数列的和式称为级数 定义2设级数的前项之和为称Sn为级数的前项部分和 当依次取1 2 3 时 新的数列 数列称为级数的部分和数列 若此数列的极限存在 即 常数 则S称为的和 记作此时称级数收敛 如果数列没有极限 则称级数发散 这时级数没有和 当级数收敛时 其部分和是级数和S的近似值 称为级数的余项 记作 即 例1判定级数的敛
2、散性 解已知级数的前n项和是 因为 所以这个级数收敛 其和为1 例3讨论等比级数 也称几何级数 的敛散性 解 1 前n项和当时 所以级数收敛 其和当时 所以级数发散 2 当时 于是 所以级数发散 当时 其前n项和显然 当n 时 Sn没有极限 所以 级数发散 综上所述 等比级数 当时收敛 当时发散 结论记住 注意几何级数的敛散性非常重要 无论是用比较判别法判别级数的敛散性 还是用间接法将函数展开为幂级数 都经常以几何级数敛散性为基础 2 数项级数的基本性质性质1如果级数收敛 其和为s k为常数 则级数也收敛 其和为ks 如果级数发散 当k 0时 级数也发散 由此可知 级数的每一项同乘以不为零的常
3、数后 其敛散性不变 性质2若级数与分别收敛于 与 则级数 收敛于性质3添加 去掉或改变级数的有限项 级数的敛散性不变 性质4若级数收敛 则对其各项间任意加括号后所得的级数仍收敛 且其和不变 应当注意 性质4的结论反过来并不成立 即如果加括号后级数收敛 原级数未必收敛 例如级数 1 1 1 1 1 1 显然收敛于零 但级数1 1 1 1 1 却是发散的 性质5 级数收敛的必要条件 若级数收敛 则例5判别级数的敛散性解因为所以级数发散 例6判别级数的敛散性 解级数与级数都收敛 故由性质2知 级数收敛 注意性质5可以用来判定级数发散 如果级数一般项不趋于零 则该级数必定发散 应当看到 性质5只是级数
4、收敛的必要条件 并不是级数收敛的充分条件 也就是说 即使 也不能由此判定级数收敛 下面的例正说明了这一点 但级数发散 例7证明调和级数是发散级数 证调和级数部分和如图 考察曲线 所围成的曲边梯形的面积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系 所以 阴影部分的总面积为它显然大于曲边梯形的面积S 即有 而 表明A的极限不存在 所以该级数发散 二 正项级数及其敛散性如果 0 n 1 2 3 则称级数为正项级数定理1正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界 例1证明正项级数是收敛的证因为于是对任意的有 即正项级数的部分和数列有界 故级数收敛 定理2 比较判别法 设和是两个正项级数 且 1 若级数收
5、敛 则级数也收敛 2 若级数发散 则级数也发散 例2讨论级数 的敛散性 证明了解 结论 解当时 因为发散 所以由比较判别法知 当时 发散 当时 顺次把级数的第1项 第2项到第3项 4到7项 8到15项 加括号后得它的各项显然小于级数 对应的各项 而所得级数是等比级数 其公比为 故收敛 于是当时 级数收敛 综上所述 级数当时发散 当时收敛 注意级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到 因此有关级数敛散性的结论必须牢记 例3判定级数的敛散性 解因为级数的一般项满足而级数是p 2的级数 它是收敛的 所以原级数也是收敛的 重要参照级数 等比级数 p 级数 定理3比较判别法的极限形式 注 须有参照级数 比
6、较审敛法的不方便 解 发散 故原级数收敛 定理4 达朗贝尔比值判别法 设是一个正项级数 并且 则 1 当时 级数收敛 2 当时 级数发散 3 当时 级数可能收敛 也可能发散 例6判别下列级数的敛散性 1 2 解 1 所以级数发散 2 所以级数收敛 解 解 定理6 根值判别法 柯西判别法 设为正项级数 且 1 当时 级数收敛 2 当时 级数发散 3 当时级数可能收敛也可能发散 注意 解 解 比值审敛法失效 根值审敛法也一定失效 改用比较审敛法 要判别一个正项级数是否收敛 通常按下列步骤进行 1 用级数收敛的必要条件如果 则级数发散 否则需进一步判断 2 用比值判别法如果 即比值判别法失效 则改用
7、比较判别法 3 用比较判别法用比较判别法必须掌握一些敛散性已知的级数 以便与要判定的级数进行比较 经常用来作为比较的级数有等比级数 级数等 三 交错级数及其敛散性级数称为交错级数 定理4 莱布尼兹判别法 如果交错级数满足莱布尼兹 Leibniz 条件 1 2 则级数收敛 其和S 其余项 例6判定交错级数的敛散性 解此交错级数 满足 1 2 由莱布尼兹判别法知级数收敛 四 绝对收敛与条件收敛定义3对于任意项级数 若收敛 则称是绝对收敛的 若收敛 而发散 则称是条件收敛的 定理5绝对收敛的级数必是收敛的 例7判定级数的敛散性 解因为 而级数收敛 故由比较判别法可知级数收敛 从而原级数绝对收敛 例8
8、判别级数的敛散性 说明是否绝对收敛 解因为故由比值判别法可知级数收敛 所以原级数绝对收敛 例9判别级数是否绝对收敛 解因为故由比值判别法可知级数发散 从而原级数不是绝对收敛 例10证明级数条件收敛 证由莱布尼兹判别法知级数收敛 而为调和级数 它是发散的 故所给级数条件收敛 第二节幂级数一 幂级数的概念1 函数项级数如果级数的各项都是定义在某个区间I上的函数 则称该级数为函数项级数 un x 称为一般项或通项 当x在I中取某个特定值时 函数项级数就是一个常数项级数 如果这个级数收敛 则称点为这个级数的一个收敛点 若发散 则称点为这个级数的发散点 一个函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域 对于收
9、敛域内的任意一个数x 函数项级数成为一个收敛的常数项级数 因此有一个确定的和S 在收敛域内 函数项级数的和是x的函数 S x 通常称S x 为函数项级数的和函数 即其中x是收敛域内的任一点 将函数项级数的前项和记作 则在收敛域上有2 幂级数的概念形如 的函数项级数 称为的幂级数 其中常数称为幂级数的系数 当 0时 幂级数变为称为x的幂级数 1 怎么求幂级数的收敛半径x的幂级数各项取绝对值 则得到正项级数 由比值判敛法其中当时 若 即 则级数收敛 若即 则级数发散 这个结果表明 只要就会有一个对称开区间 在这个区间内幂级数绝对收敛 在这个区间外幂 级数发散 当x R时 级数可能收敛也可能发散 称
10、为幂级数的收敛半径 当时 则级数对一切实数x都绝对收敛 这时收敛半径 如果幂级数仅在x 0一点处收敛 则收敛半径R 0 定理1如果x的幂级数的系数满足则 1 当时 2 当时 3 当时 2 幂级数的收敛区间若幂级数的收敛半径为R 则 R R 称为该级数的收敛区间 幂级数在收敛区间内绝对收敛 把收敛区间的端点x R代入级数中 判定数项级数的敛散性后 就可得到幂级数的收敛域 例1求下列幂级数的收敛半径及收敛域 1 2 3 解 1 因为所以幂级数的收敛半径 所以该级数的收敛域为 2 因为所以所给幂级数的收敛半径R 1 因此该级数的收敛区间为 1 1 当x 1时 级数为调和级数 发散 当x 1时 级数为
11、交错级数 收敛故该级数的收敛域为 1 1 3 因为所以所给幂级数的收敛半径 因此没有收敛区间 收敛域为 即只在处收敛 例2求幂级数的收敛半径解所给级数缺少偶次方项 根据比值法求收敛半径当 即时 所给级数绝对收敛 当 即时 所给级数发散 因此 所给级数的收敛半径 二 幂级数的性质性质2设记 则在 R R 内有如下运算法则 1 加 减 法运算 性质3 微分运算 设 收敛半径为R 则在 R R 内这个级数可以逐项求导 即且收敛半径仍为R 性质4 积分运算 设 收敛半径为R 则在 R R 内这个级数可以逐项积分 即且收敛半径仍为 例4求的和函数解设两端求导得两端积分得即 当x 1时 收敛 当x 1时 收敛 所以 此课件下载可自行编辑修改 此课件供参考 部分内容来源于网络 如有侵权请与我联系删除 感谢你的观看
