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1、精心整理勾股定理经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在RtABC中，C=90(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1)在ABC中，C=90，a=6，c=10,b=(2)在ABC中，C=90，a=40，b=9,c=(3)在ABC中，C=90，c=25，b=15,a=举一反三【变式】如图B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?【答案】ACD=90AD=13,CD=12AC2=AD2CD2=132122=25AC
2、=5又ABC=90且BC=3由勾股定理可得AB2=AC2BC2=5232=16AB=4AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，.求BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，（的两个锐角互余）（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.举一反三【变式1】如图，已知：，于P.求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.又（已知），.在中，根据勾股定理有，.【变式2】已知：如图，B=D=9
3、0，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长AD、BC交于E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。DE2=CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，
4、沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。解析：（1）过B点作BE/ADDAB=ABE=6030+CBA+ABE=180CBA=90即ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m，AB=由勾股定理可得：所以（2）在RtABC中，BC=500m，AC=1000mCAB=30DAB=60DAC=30即点C在点A的北偏东30的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度足够卡车通过，只要看当
5、卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD，与地面交于H解：OC1米(大门宽度一半)，OD0.8米（卡车宽度一半）在RtOCD中，由勾股定理得：CD.米，C.（米）.（米）因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾
6、股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD3，AB+BC+CD3图（3）中，在RtABC中同理图（3）中的路线长为图（4）中，延长EF交BC于H，则FHBC，BHCH由FBH及勾股定理得：EAEDFBFCEF12FH1此图中总线路的长为4EA+EF32.8282.732图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程解：如图，在Rt中，底面周长的一半cm，根据勾股定理得（
7、提问：勾股定理）AC（cm）（勾股定理）答：最短路程约为cm类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角ACB，使AB为斜边；（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是、。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图，让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。作法：
8、如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2.逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（正确）4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正
9、确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。思路点拨：要判断ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。(a-3)20,(b-4)20,(c-5)20。a=3，b=4，c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得ABC
10、是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。举一反三【变式1】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。【答案】：连结ACB=90，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90（勾股定理逆定理）【变式2】已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a2+b2=c2即可证明：所以ABC是直
11、角三角形.【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。请问FE与DE是否垂直?请说明。【答案】答：DEEF。证明：设BF=a，则BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。DF2=EF2+DE2,FEDE。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设
12、未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：（3x）2+（4x）2202化简得x216；直角三角形的面积3x4x6x296总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。【答案】如图，等边ABC，作ADBC于D则：BDBC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）ABACBC2（等边三角形各边都相等）BD1在直角三角形ABD中，AB2AD2+BD2，即：AD2AB2BD2413ADSABCBCAD注：等边三角形面积公式：若等边三角形
13、边长为a，则其面积为a。【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：由（1）得：x+y7，（x+y）249，x2+2xy+y249(3)(3)(2)，得：xy12直角三角形的面积是xy126（cm2）【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2（n+3）2化简得：n24n2，但当n2时，n+110，n2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”
14、的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2a2+b2的变形：b2c2a2（ca）（c+a）来判断。例如：对于选择D，82（40+39）（4039），以8，39，40为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答案】：A【变式5】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。解：连结ACB=90，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90（勾股定理逆定理）S四边形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，
