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1、2008年华中科技大学招收硕士研究生.入学考试自命题试题数学分析一、 求极限 解: 一方面显然另一方面,且由迫敛性可知。注:可用如下两种方式证明1) 令,则即,从而2) 由有。二、证明为某个函数的全微分,并求它的原函数。证明:记,则,是某个函数的全微分设原函数为,则三、设是空间区域且不包含原点,其边界为封闭光滑曲面:用表示的单位外法向量,和,证明:证明:设的方向余弦为。因为的方向余弦为,所以,由于原点不在空间区域,根据高斯公式,有注:当原点也在该区域时,结论也成立,详细参考课本P296第8题答案。四、设为连续函数,证明:证明:记,由于为连续函数,故在上连续,从而在上可积。而对每个,存在,从而累
2、次积分也存在,同理也存在。于是即五、设,证明收敛并求其极限。证明:一方面由归纳法易知,即有界。另一方面于是单调,从而收敛。设,则解得六、设反常积分绝对收敛且,证明收敛。证明:由于,故,当时,此时再由绝对收敛知,对,有取,则故收敛。注:这里还差0不是 的瑕点这一条件,若不然讨论由下题可知绝对收敛,但发散。这是因为发散;收敛。七、讨论反常积分的敛散性(包括绝对收敛、条件收敛和发散),其中为常数。解:记1) 先讨论(可以用瑕积分收敛判别的推论)由可知,当时,是定积分,只需考虑当时,由收敛知收敛,且绝对收敛;当时,由发散知发散。2) 再讨论当时,由收敛知绝对收敛当时,条件收敛,这是由于对任意,有,而单调趋于0,由狄利克雷判别法知收敛。另外,其中满足狄利克雷条件,是收敛的。但是发散的。所以当时,是条件收敛的。综上所述, 当时,条件收敛;当时,绝对收敛;当时,发散。八、将函数展开为余弦级数。解:对作偶式周期延拓,则的傅里叶系数为:即,()九、证明函数在上可微证明:对,收敛记,则。与在上均连续由于对,因此即在上收敛故在上可微且十、设在上二阶可导,且在上成立,。证明在上成立。证明:根据泰勒公式,分别将与在处展开:两式相减得5 / 5