《同济版大一高数第九章第八节极值与最值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济版大一高数第九章第八节极值与最值（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 高等数学 第十二讲 2 第九章 第八节 一 多元函数的极值 二 最值应用问题 三 条件极值 多元函数的极值及其求法 3 一元函数的极值 一元函数 存在 1 若在 的某领域内 则 为极大 小 值 为极大 小 点 2 若 为极值点 必要条件 3 若 4 若 3 4 为极值存在的充分条件 与一元函数类似 可利用多元函数的偏导数解决 多元函数的极值问题 4 一 多元函数的极值 定义 若函数 则称函数在该点取得极大值 极小值 极大值和极小值 统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 的某邻域内有 5 例如 在点 0 0 有极小值 在点 0 0 有极大值 在点 0 0 无极值 6 7 说明 使偏导数都
2、为0的点称为驻点 例如 定理1 必要条件 函数 偏导数 证 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 取得极值 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点 有驻点 0 0 但在该点不取极值 且在该点取得极值 则有 存在 故 8 时 具有极值 定理2 充分条件 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 且 令 则 1 当 A 0时取极大值 A 0时取极小值 2 当 3 当 证明见第九节 P122 时 没有极值 时 不能确定 需另行讨论 若函数 9 例1 求函数 解 第一步求驻点 得驻点 1 0 1 2 3 0 3 2 第二步判别 在点 1 0 处 为极小值 解方程组 的极值 求二阶偏导数 10 在点 3
3、 0 处 不是极值 在点 3 2 处 为极大值 在点 1 2 处 不是极值 11 例2 讨论函数 及 是否取得极值 解 显然 0 0 都是它们的驻点 在 0 0 点邻域内的取值 因此z 0 0 不是极值 因此 为极小值 正 负 0 在点 0 0 并且在 0 0 都有 可能为 12 二 最值应用问题 函数f在闭域上连续 函数f在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别 当区域内部最值存在 且只有一个极值点P时 为极小值 为最小值 大 大 依据 13 解 如图 例1 14 15 16 解 由 例2 17 例3 解 设水箱长 宽分别为x ym 则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻
4、点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在 的有盖长方体水箱 问当长 宽 高各取怎样的尺寸时 才能使用料最省 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点 即当长 宽均为 高为 时 水箱所用材料最省 18 三 条件极值 极值问题 无条件极值 条件极值 条件极值的求法 方法1代入法 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外 还有其它条件限制 例如 19 方法2拉格朗日乘数法 如方法1所述 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题 极值点必满足 设 记 例如 故 故有 20 引入辅助函数 辅助函数F称为拉格朗日 Lagrange 函数 利
5、用拉格 极值点必满足 则极值点满足 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 21 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 例如 求函数 下的极值 在条件 22 例1 求旋转抛物面 与平面 之间的最短距离 解 设 为抛物面 上任一点 则P 的距离为 问题归结为 约束条件 目标函数 作拉氏函数 到平面 23 令 解此方程组得唯一驻点 由实际意义最小值存在 故 24 已知平面上两定点A 1 3 B 4 2 试在椭圆 圆周上求一点C 使 ABC面积S 最大 解答提示 设C点坐标为 x y 例2 则 25 设拉格朗日函数 解方程组 得驻点 对应面
6、积 而 比较可知 点C与E重合时 三角形面积最大 26 解法一 则 例3 将 代入 4 27 则 例3 解法二 28 例4设在锥面 解法一 与平面 的锥体内 作底面平行于 平面的长方体 求长方 解得唯一驻点 体的最大体积V 所围成 设 最大体积V 29 例4设在锥面 解法二 与平面 的锥体内 作底面平行于 平面的长方体 求长方 体的最大体积V 所围成 最大体积 得 令 30 例5 求半径为R的圆的内接三角形中面积最大者 解 设内接三角形各边所对的圆心角为x y z 则 它们所对应的三个三角形面积分别为 设拉氏函数 解方程组 得 故圆内接正三角形面积最大 最大面积为 31 例6 某公司的两个工厂
7、生产同样的产品但所需成本 不同 第一个工厂生产 件产品和第二个工厂生产 件产品时的总成本是 若公司的生产任务是500件 问如何分配任务才能使总 成本最小 解 根据题意是求 在条件 下的极值 作辅助函数 代入 得 根据题意可知 当第一个工厂生产125件产品 第二个 工厂生产375件产品该公司的总成本最低 32 内容小结 1 函数的极值问题 第一步利用必要条件在定义域内找驻点 即解方程组 第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点 2 函数的条件极值问题 1 简单问题用代入法 如对二元函数 2 一般问题用拉格朗日乘数法 33 设拉格朗日函数 如求二元函数 下的极值 解方程组 第二步判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值 第一步找目标函数 确定定义域 及约束条件 3 函数的最值问题 在条件 求驻点
