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1、 九年级数学培优专题训练 三 二次函数整合提升 知识网络 二次函数的图象是抛物线 其性质主要体现在开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 对称性等方面 熟练掌握这些性质是学好本章的前提和基础 再者注意y a x h 2 k的图象与函数y ax2的图象的关系 它们形状 开口方向均相同 只是位置不同 可以通过平移得到 平移的规律是 h左加右减 k上加下减 二次函数的一般形式y ax2 bx c可以转化为顶点式y a x h 2 k加以分析 热点一 二次函数的图象与性质 例1 已知二次函数y 2 x 1 2 m的图象上有三个点 坐标分别为A 2 y1 B 3 y2 C 4 y3 则y1 y2 y3
2、的大 小关系是 A y1 y2 y3C y3 y1 y2 B y2 y1 y3D y3 y2 y1 解析 二次函数的解析式为y 2 x 1 2 m 该二次函数的抛物线开口向上 且对称轴为直线x 1 点A 2 y1 B 3 y2 C 4 y3 为二次函数y 2 x 1 2 m的图象上三个点 且三点横坐标距离对称轴x 1的距离远近顺序为C 4 y3 B 3 y2 A 2 y1 三点纵坐标的大小关系为y3 y2 y1 答案 D 跟踪训练 1 二次函数y x2 2x 5有 D A 最大值 5C 最大值 6 B 最小值 5D 最小值 6 2 抛物线y x 2 2 3可以由抛物线y x2平移得到 则 下列
3、平移过程正确的是 B A 先向左平移2个单位 再向上平移3个单位B 先向左平移2个单位 再向下平移3个单位C 先向右平移2个单位 再向下平移3个单位D 先向右平移2个单位 再向上平移3个单位 3 如图22 1 在Rt OAB中 OAB 90 O为坐标原点 边OA在x轴上 OA AB 1个单位长度 把Rt OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得AA1B1 1 求以A为顶点 且经过点B1的抛物线的解析式 2 若 1 中的抛物线与OB交于点C 与y轴交于点D 求 点C D的坐标 图22 1 解 1 由题意 得点A 1 0 B1 2 1 设抛物线的解析式为y a x 1 2 将B1坐标代入 得a 1
4、所以抛物线的解析式为y x 1 2 2 因为点B坐标为 1 1 所以直线OB的解析式为y x 侧 抛物线与y轴的交点D的坐标为 0 1 二次函数y ax2 bx c a 0 与一元二次ax2 bx c 0 a 0 从形式上看十分相似 两者之间既有联系又有区别 当抛物线y ax2 bx c的y值为0时 就得到一元二次方程ax2 bx c 0 抛物线与x轴是否有交点就取决于一元二次方程ax2 bx c 0的根的个数的情况 当b2 4ac 0时 方程有两个不相等的实数根 抛物线与x轴的两个交点的横坐标是此方程的两个实数根 当b2 4ac 0时 方程有两个相等的实数根 抛物线与x轴只有一个交点 此交点
5、的横坐标是方程的根 当b2 4ac 0时 方程没有实数根 抛物线与x轴没有交点 热点二 二次函数与一元二次方程的关系 例2 已知函数y mx2 6x 1 m是常数 1 求证 不论m为何值 该函数的图象都经过y轴上的一 个定点 2 若该函数的图象与x轴只有一个交点 求m的值 思路点拨 1 根据解析式可知 当x 0时 函数值与m值无关 故不论m为何值 函数y mx2 6x 1的图象都经过y轴上一个定点 0 1 2 应分两种情况讨论 当函数为一次函数时 与x轴有一个交点 当函数为二次函数时 利用根与系数的关系解答 解 1 当x 0时 y 1 所以不论m为何值 函数y mx2 6x 1的图象都经过y轴
6、上的一个定点 0 1 2 当m 0时 函数y 6x 1的图象与x轴只有一个交点 当m 0时 函数y mx2 6x 1的图象与x轴只有一个交点 则方程mx2 6x 1 0有两个相等的实数根 所以 6 2 4m 0 解得m 9 综上所述 若函数y mx2 6x 1的图象与x轴只有一个交点 则m的值为0或9 跟踪训练 3 4 抛物线y 2x2 5x 3与坐标轴的交点共有 个 5 已知关于x的函数y ax2 x 1 a为常数 1 若函数的图象与x轴恰有一个交点 求a的值 2 若函数的图象是抛物线 且顶点始终在x轴上方 求a 的取值范围 解 1 当a 0时 函数为y x 1 它的图象显然与x轴 只有一个
7、交点 1 0 当a 0时 依题意 得方程ax2 x 1 0有两个相等的 实数根 例3 已知关于x的二次函数y ax2 bx c a 0 的图象经过点C 0 1 且与x轴交于不同的两点A B 点A的坐标是 1 0 1 求c的值 2 求a的取值范围 3 该二次函数的图象与直线y 1交于C D两点 设A B C D四点构成的四边形的对角线相交于点P 记 PCD的面积为S1 PAB的面积为S2 当0 a 1时 求证 S1 S2为常数 并求出该常数 热点三 二次函数的综合应用 1 解 将点C 0 1 代入y ax2 bx c 得c 1 2 解 由 1 知 y ax2 bx 1 将点A 1 0 代入 得a
8、 b 1 0 b a 1 二次函数为y ax2 a 1 x 1 二次函数为y ax2 a 1 x 1的图象与x轴交于不同 的两点 0 而 a 1 2 4a a2 2a 1 4a a2 2a 1 a 1 2 实数a的取值范围是a 0且a 1 3 证明 如图22 2 0 a 1 图22 2 把y 1代入y ax2 a 1 x 1 得 ax2 a 1 x 0 解得 x1 0 x2 1 aa CD 1 aa S1 S2 S PCD S PAB S ACD S CAB S1 S2为常数 这个常数为1 跟踪训练 6 如图22 3 抛物线y x2 bx c的顶点为D 1 4 与y轴交于点C 0 3 与x轴交
9、于A B两点 点A在点B的左侧 1 求抛物线的解析式 2 连接AC CD AD 试证明 ACD为 直角三角形 图22 3 3 若点E在抛物线的对称轴上 抛物线上是否存在点F 使以A B E F为顶点的四边形为平行四边形 若存在 求出所有满足条件的点F的坐标 若不存在 请说明理由 则抛物线解析式为 x2 2x 3 2 结合图形 抛物线y x2 2x 3 与x轴的交点为 1 0 3 0 由AC2 CD2 AD2 所以 ACD为直角三角形 3 存在点A 3 0 B 1 0 则 AB 4 抛物线y x2 2x 3的对称轴为x 1 点E在抛物线的对称轴上 则过点E作EF AB 交抛物线于点F 要使以A
10、B E F为顶点的四边形为平行四边形 则 EF 4 设点F坐标为 x y 则 x 1 4 故x 5或x 3 当x 3时 y 32 2 3 3 9 6 3 12 则点F为 3 12 当x 5时 y 52 2 5 3 25 10 3 12 则点F为 5 12 故存在点F 5 12 或 3 12 使以A B E F为顶点的四边 形为平行四边形 7 如图22 4 抛物线y x 1 2 k与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 0 3 1 求抛物线的对称轴及k的值 2 抛物线的对称轴上存在一点P 使得PA PC的值最小 求此时点P的坐标 3 点M是抛物线上一动点 且在第三象限 图22 4 当M点运动到何处
11、时 AMB的面积最大 求出 AMB的最大面积及此时点M的坐标 当M点运动到何处时 四边形AMCB的面积最大 求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标 解 1 抛物线y x 1 2 k的对称轴为直线x 1 抛物线y x 1 2 k过点C 0 3 则 3 0 1 2 k k 4 2 如图D6 根据两点之间线段最短可知 当P点在线段AC上就可使PA PC的值最小 又因为点P要在对称轴上 所以P点应为线段AC与对称轴直线x 1的交点 图D6 由 1 可知 抛物线的表达式为y x 1 2 4 x2 2x 3 令y 0 则 x 1 2 4 0 解得x1 3 x2 1 则点A B的坐标分别是A 3 0
12、B 1 0 设直线AC的表达式为y kx b 则 所以直线AC的表达式为y x 3 当x 1时 y 1 3 2 所以点P的坐标为 1 2 3 当点M运动到抛物线的顶点时 AMB的面积最大 由抛物线表达式y x 1 2 4可知 抛物线的顶点坐标为 1 4 点M的坐标为 1 4 方法一 如图D6 过点M作MH x轴于点H 连接AM MC CB 点M在抛物线上 且在第三象限 设点M的坐标为 x x2 2x 3 则 方法二 如图D6 过点M作MH x轴于点H 交直线AC于点N 连接AM MC CB 点M在抛物线上 且在第三象限 设点M的坐标为 x x2 2x 3 则点N的坐标为 x x 3 则 MN
13、x 3 x2 2x 3 x2 3x 则S四边形AMCB S ABC S AMC 二次函数活动 如图 在一张纸上作出函数的图象 沿x轴把这张纸对折 描出与抛物线关于x轴对称的抛物线 这条抛物线是哪个二次函数的图象 活动1 点 x y 在y x2 2x 3上关于x轴对称点的坐标为 x y 因此关于x轴对称抛物线为 y x2 2x 3 y x2 2x 3 如图 从一张矩形纸较短的边上找一点E 过这点剪下两个正方形 它们的边长分别是AE DE 要使剪下的两个正方形的面积和最小 点E应选在何处 为什么 如图 设矩形的宽为a AE x DE a x y x2 a x 2 y x2 a2 2ax x2 2x2 2ax a2 活动2 点E应在线段AD的中点
