圆锥曲线题型及方法教学材料

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1、 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 1 黄冈立传教育导学案黄冈立传教育导学案 高二数学 导学案 学生 学生 课题 名称 圆锥曲线复习圆锥曲线复习时间 2012 年 11 月 日 第 课时 课型复习课课时 6 主备人张思藤审核人 教学目标 教学目标 掌握圆锥曲线和其它知识点交汇综合性问题的解题技巧 将圆锥曲线知 识系统化 形成问题规律化 教学重点 教学重点 椭圆的定义 标准方程 椭圆的简单几何性质及应用等知识 主要考查 概念 基本量求解 求曲线方程 求参数范围问题等几类高考中常出现的问题 主要解题策略主要解题策略 运用第一定义 第二定义进行突破 构造含参数的不等式 通 过解不等式求

2、参数范围 与直线有关的问题经常通过消元 得到一个一元二次方程 再利用韦达定理进行变形求解 充分运用曲线的性质及图形的特征 使得解法更简 捷 因此在解题时要提高运用曲线的定义及图形的几何特征的意识 体现主要数学 思想有 化归与转化思想 函数与方程思想 数形结合思想 分类与整合思想 等 应注意的问题是对直线斜率是否存在的讨论 应用定义时是否符合要求等 一 考查概念 一 考查概念 例例 1 1 2009 全国 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为F 右准线为l 点Al 线段 AF交C于点B 若3FAFB 则 AF A 2 B 2 C 3 D 3w 解析 解析 过点B作BMl 于M 并设右准

3、线l与x轴的交点为N 易知FN 1 由题意3FAFB 故 2 3 BM 又由椭圆的第二定义 得 2 22 233 BF 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 1 2AF 故选 A 归纳小结归纳小结 本题充分挖掘图形的几何性质 应用椭圆的第二定义解决问题 例例 2 2 椭圆1 49 22 yx 的焦点为 1 F 2 F 点P为其上的动点 当 21PF F 为钝角时 点 P横坐标的取值范围是 分析 分析 欲求点P横坐标 0 x的取值范围 需要建立关于 0 x的不等式 从不同的知识点切入就 得到不同的解法 解法解法 1 1 两个定义相结合 由条件可知 3a 2b 所以 5c 3 5 a c

4、 e 根据椭圆的定义 12 26PFPFa 于是两边平方得 362 21 2 2 2 1 PFPFPFPF 又在 21PF F 中 由余弦定理得 222 1212 12 cos0 2 PFPFFF PF PF 所以 2 2 2 1 PFPF 2 22 20F F 将 代入上式得 12 8PFPF 设P的横坐标为 0 x 由焦半径公式得 00 8aexaex 所以 2 0 5 98 9 x 故 0 3 53 5 55 x 解法解法 2 2 与向量知识结合 因为 21PF F 为钝角 所以 12 0PF PF 设 00 P xy 由分析 1 可知 100 5 PFxy 200 5 PFxy 所以

5、0000 5 5 xyxy 05 2 0 2 0 yx 又 00 P xy在椭圆上 所以 22 00 1 94 xy 两式联立 消去 0 y 即得 0 3 53 5 55 x 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 1 归纳小结归纳小结 本题考查椭圆的定义及余弦定理 向量 不等式等知识综合 因此应注意提高综 合解决问题的能力 例例 3 3 2009 全国卷 理 已知直线 20yk xk 与抛物线 2 8C yx 相交于 AB 两点 F为C的焦点 若 2 FAFB 则 k A 1 3 B 2 3 C 2 3 D 2 2 3 解析 解析 分析图形 利用三角形相似 再利用抛物线的定义将问题转

6、化 求出直线上一点的坐 标 求得k的值 设抛物线 2 8C yx 的准线为 2l x 直线 20yk xk 恒过定点 P 2 0 如 图过AB 分别作AMl 于M BNl 于N 由 2 FAFB 则 2 AMBN 点 B 为 AP 的中点 连结OB 则 1 2 OBAF OBBF 点B的横坐标为1 故点B的坐标为 2 202 2 1 2 2 1 2 3 k 故选 D 归纳小结归纳小结 充分研究图形 结合抛物线的定义解决问题是解析几何重要方法 二 基本量求解 二 基本量求解 例例 4 4 2009 上海 已知 1 F 2 F是椭圆1 2 2 2 2 b y a x C a b 0 的两个焦点 P

7、为 椭圆C上一点 且 21 PFPF 若 21F PF 的面积为 9 则b 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 1 解析 解析 依题意 有 12 12 22 2 12 2 18 4 PFPFa PFPF PFPFc 可得 4c2 36 4a2 即a2 c2 9 故有b 3 归纳小结归纳小结 本题主要考查椭圆的定义 长轴 短轴 焦距之间的关系 属于基础知识 基 本运算的考查 例例 5 5 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的半焦距为c 若直线2yx 与椭圆一个交点P的横坐 标恰好为c 则椭圆的离心率为 A 22 2 B 2 21 2 C 21 D 31 分析 分析 求离心率

8、关键是根据已知条件得到a b c的等量关系 若能充分利用图形的几何 特征及曲线的定义 可简化运算过程达到求解的目的 解法解法 1 1 由题知点 2 P cc 因为点P在椭圆 22 22 1 xy ab 上 所以 22 22 4 1 cc ab 化简得 222222 4b ca ca b 又因为 222 bac 所以 22222222 4 ac ca caac 化简得 4224 60ca ca 同除以 4 a得 42 610ee 解得 22 32 2 21 e 因为01e 所以 21e 故选 C 解法解法 2 2 由题知点P在椭圆上且横坐标为c 纵坐标为正数 所以点P的坐标为 2 b c a 黄

9、冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 1 又因为点P在直线2yx 上 所以 2 2 b c a 即 2 2bac 又因为 222 bac 所以 22 20caca 同除以 2 a得 2 210ee 解得12e 因为01e 所以21e 故选 C 解法解法 3 3 由题意可知点P坐标为 2 cc 即 2 2PFc 所以 12 PFF 为等腰直角三角形 所以 1 2 2PFc 由椭圆定义 12 2PFPFa 即2 222cca 所以 1 21 21 c e a 故选 C 归纳小结归纳小结 本题三种解法各有特点 解法 2 解法 3 充分运用曲线的性质及图形的特征 使 得解法更简捷 因此在解题时

10、要提高运用曲线的定义及图形的几何特征的意识 例例 2 2 2009 山东理 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与抛物线 2 1yx 只有一个公共点 则双曲线的离心率为 A 4 5 B 5 C 2 5 D 5 解析 解析 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线为x a b y 由方程组 2 1 b yx a yx 消去 y 得 2 10 b xx a 有唯一解 所以 2 40 b a 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 1 所以2 b a 22 2 1 5 cabb e aaa 故选 D 三 最值问题 三 最值问题 例例 6 6 已知抛物线 2

11、4yx 过点 4 0 P的直线与抛物线相交于 1122 A x yB xy两点 则 22 12 yy 的最小值是 解析 解析 由于过点 4 0 P且与抛物线 2 4yx 相交的直线不能是x轴 故可设这条直线为 4 xmymR 与抛物线方程联立 消去x 得 2 4160ymy 所以 12 12 4 16 yym y y 进而 21 2 21 2 2 2 1 2 yyyyyy 323216 2 m 当且仅当0m 即直线与x轴 垂直时 22 12 32yy 归纳小结归纳小结 本题并没有落入 设直线的斜率为k 将 22 12 yy 转化为k的函数 这个函数的 最小值 的俗套 而是类比直线方程的斜截式

12、将这条直线设为4 xmymR 如此处理 既不丢解又简捷明快 例例 8 8 2006 江西 P是双曲线 22 1 916 xy 的右支上一点 M N分别是圆 22 5 4xy 和 22 5 1xy 上的点 则 PMPN 的最大值为 A 6 B 7 C 8 D 9 解析 解析 双曲线的两个焦点 1 5 0 F 与 2 5 0 F恰好是两圆的圆心 欲使 PMPN 的值 最大 当且仅当 PM最大且 PN最小 由平面几何性质知 点M在线段 1 PF的延长线上 点N是线段 2 PF与圆的交点时所求的值最大 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 1 此时 12 2 1 PMPNPFPF 93 21

13、 PFPF 因此选 D 四 突出几何性质的考查 四 突出几何性质的考查 例例 6 6 如图 已知圆O方程为100 22 yx 点A的坐标为 06 M为圆O上任意一 点 线段AM的垂直平分线交OM于点P 则点P的轨迹方程为 A 22 1 2516 xy B 22 3 1 2516 xy C 22 1 2516 xy D 22 3 1 2516 xy 解析 解析 由于POPA POPM 106 所以 点P的轨迹是以OA 为焦点 以 10 为长轴长的椭圆 因此选 B 归纳总结 归纳总结 应用定义求动点轨迹或其方程 其优势在于避免列式 化简等烦琐的代数处理过 程 给人以简捷 明快之感 定义法是解析几何

14、中求动点轨迹及其方程的重要方法之一 例例 7 7 已知椭圆 22 1 32 xy 的左右焦点分别为 1 F 2 F 过 1 F的直线交椭圆于B D两点 过 2 F的直线交椭圆于A C两点 且ACBD 垂足为P 1 设P点的坐标为 00 xy 证明 22 00 1 32 xy 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 1 2 求四边形ABCD的面积的最小值 分析分析 因为ACBD 于点P 又 1 F 2 F是两个定点 所以 点P在以线段 12 FF为直径的 圆上 即P点的坐标为 00 xy满足 22 00 1xy 这样问题就转化为在此代数条件下求代数式 22 00 32 xy 的取值范围的

15、问题了 方法显然不唯一 由条件知ABCD是对角线互相垂直的四边形 那么 这样的四边形的面积怎样计算呢 由 平面几何易知 1 2 ABCD SACBD 这就将问题转化为求椭圆的弦长问题了 显然 AC BD的长由它们的斜率决定 这已是常规的解析几何问题了 解 解 1 方法 1 椭圆的半焦距321c 由ACBD 知点P在以线段 12 FF为直 径的圆上 故 22 00 1xy 所以 2222 0000 1 1 32222 xyxy 方法 2 由方法 1 知 22 00 1xy 即 22 00 1yx 所以 22222 00000 111 1 3232262 xyxxx 2 当BD的斜率k存在且0k

16、时 BD的方程为 1 yk x 代入椭圆方程 22 1 32 xy 并化简得 2222 32 6360kxk xk 显然0 设 11 B xy 22 D xy 则 2 12 2 6 32 k xx k 2 12 2 36 32 k x x k 2 2222 12122212 2 4 3 1 1 4 32 k BDxxyykxxx x k 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 1 又由于直线AC与BD过同一点P 且相互垂直 同理可得 2 2 2 2 1 4 31 4 3 1 1 23 32 kk AC k k 四边形ABCD的面积为 111 222 ABCADC SSSACBPACDPBDAC 22 22 24 1 32 23 k kk 22 2 22 1 96 25 32 23 2 k kk 当 2 1k 时 上式取等号 当BD的斜率0k 或斜率不存在时 四边形ABCD的面积4S 综上 四边形ABCD的面积的最小值为 96 25 归纳小结归纳小结 第一问实际上是证明点P在椭圆的内部 这只需利用不等式进行放缩即得到结论 或者 由点P满足的关系 消去变量 0 y 得到关于 0 x