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1、锐角三角函数的实际应用问题一、数学新课程标准课标要求数学新课程标准中要求：运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题，考纲中的能级要求为C(掌握)。数学离不开生活，生活也离不开数学。在实际生活中，有不少问题的解决都涉及到数学中直角三角形的边、角关系。而锐角三角函数的实际应用注重联系学生的生活实际，侧重于解决与学生生活比较接近的实际问题，突出了学数学、用数学的意识与过程。二、考向分析结合近五年中考试题分析,锐角三角函数的内容考查主要有以下特点:1.命题方式为运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型解答题,以中档题出现.分值都是9分；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形,建立
2、数学模型,然后用解直角三角形的知识解决问题；三、锐角三角函数的实际应用这道题的价值1.它是代表初中几何图形的计算中的一个最高水平；2.此题蕴含的数学思想比较多，如化归思想、方程思想等；3.能加入实际生活的背景，增强学生的数学应用意识；4.能把学生的基本思想、基本方法、基本能力呈现出来。四、近五年锐角三角函数的实际应用中考试题变与不变1.价值不变2.基本模型不变；3. 2012.2014.2015.2016四年都是考察解直角三角形的应用-仰角俯角问题2013年考察解直角三角形的应用-坡度坡角问题 4. 2012. 2013. 2016年的都能在图中找到与已知和未知相关联的直角三角形，2014.2
3、015年要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决5.外形变化，实际背景变化，一些条件和结论的变化。五、近五年锐角三角函数的实际应用中考试题回顾1.（河南省2012）（9分）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅。如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定。小明为了测量此条幅的长度，他先测得楼顶A点的仰角为45，已知点C到大厦的距离BC=7米，ABD=90.请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数。参考数据：tan310.60,sin310.52，cos310.86）.ECDBA第20题考点：解直角三角形的应用-仰角问题【解析】设米， 在中，
4、即即(米)在中即条幅的长度约为25米点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形2、（河南省2013）（9分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为，背水坡坡角，新坝体的高为，背水坡坡角。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度.(结果精确到0.1米，参考数据）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析：在RtBAE中，根据BE=162米，BAE=68，解直角三角形求出AE的长度，然后在RtDCE中解
5、直角三角形求出CE的长度，然后根据AC=CEAE求出AC的长度即可解答：解：在RtBAE中，BE=162米，BAE=68，AE= = =64.8（米），在RtDCE中，DE=176.6米，DCE=60，CE= = = 102.1（米），则AC=CEAE=102.164.8=37.3（米）答：工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形3（9分）（2014河南）在中俄“海上联合2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68，
6、试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度（结果保留整数，参考数据：sin680.9，cos680.4，tan682.5，1.7）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：过点C作CDAB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，分别在Rt三角形ACD中表示出CD和在Rt三角形BCD中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解解答：解：过点C作CDAB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：ACD=30，BCD=68，设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，在Rt三角形ACD中，CD=，在Rt三角形BCD中，BD=CDtan68，1000+x=x
7、tan68解得：x=308米，潜艇C离开海平面的下潜深度为308米点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形并选择合适的边角关系求解4. （河南省2015）（9分）如图所示，某学校活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B处的仰角是300，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B处的仰角是480，若坡角FAE=300,求大树的高。（结果保留整数，参考数据：sin4800.74，con4800.67，tan4801.11，1.73）【分析】通过观察图形，要求大树的高度，需要构造直角三角形，将所求线段联系起来.结合题目中的信息
8、，即要延长BD交AE于点G，并过点D作DHAE于点H，分别在RtGBC和RtABC中表示出CG和AC的长即可求解.解：延长BD交AE于点G,过点D作DHAE于H，由题意得，DAE=BGH=300,DA=6,GD=DA=6, GH=AH=DAcos300=6=3，GA=6,2分设BC=x米，在RtGBC中，GC=4分在RtABC中，AC=6分GC-AC=GA, x-=6，8分x13.即大树的高约为13米。9分【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为
9、直角三角形中边角关系问题加以解决5（河南省2016）（9分）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37，旗杆底部B点的俯角为45，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】通过解直角BCD和直角ACD分别求得BD、CD以及AD的长度，则易得AB的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由“速度=”进行解答即可【解答】解：在RtBCD中，BD=
10、9米，BCD=45，则BD=CD=9米在RtACD中，CD=9米，ACD=37，则AD=CDtan3790.75=6.75（米）所以，AB=AD+BD=15.75米，整个过程中旗子上升高度是：15.752.25=13.5（米），因为耗时45s，所以上升速度v=0.3（米/秒）答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决六、方法总结锐角三角函数的实际应用的一般步骤为：第一步：分析理解题意，根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的
11、数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；第二步：建模根据已知条件与求解目标，把已知条件与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解直角三角形的数学模型；若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决。第三步：求解利用三角函数的边角关系解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解锐角三角函数的实际应用问题最后的结果常要取近似值，要注意题中精确度的要求。七、教学中应注意的几个问题1.平时应注重能力的培养；2.不能搞题海战术，多注重方法的总结；3.平时注意计算能力的培养，尤
12、其是锐角三角函数的实际应用这类题，计算不是很好算，教师要做好指导；4.此题难度不大，是提高学生成绩的一个题，但也是学生不细心丢分的一个题，教师一定要重视这道题。教学举例（河南省2016）（9分）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37，旗杆底部B点的俯角为45，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）新课程标准要求学生能认识到现实生活中蕴含着大量了数学信息、数学在现实生活中有着广泛的应用；
13、面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。因此使学生从生活中体验数学的意义,激发学生的学习兴趣.有利于让学生体会数学来源于生活、服务于生活.教法设计1.本节课主要内容是一个关于仰角和俯角问题的实际问题，本节课采用自主探究式教学，通过问题情境自然引入新课，通过对实际问题的探究，体验实际问题的解决过程，体会数学的应用价值，体会数学思想在解题中的应用，提高解题能力，培养数学建模意识。具体思路如下： 出示问题让学生读题审题。 探究：出示问题1、小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，可知BD的长度是多少？由旗
14、杆底部B点的俯角为45可知CD的长度是多少？2、由测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37和CD的长度如何求AD的长度；3、由AD和BD的长度可求出AB的长度是多少？4、根据题意得到整个过程中旗子上升高度是多少？5、若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗上升的速度是多少？结合题意，学生独立思考后小组讨论交流。让学生先分析解决，体会实际问题的解决需要建立数学模型来刻画实际问题。我采用以下的学习方法：(1)、让学生在做中学，使学生动起来，大胆表述、质疑，让学生自主分析，发现问题，解决问题。经历观察、探究、建立数学模型等活动，达成对问题的更深理解。(2)、分组讨论、交流，努力营造自主探究、协作互动的课堂氛围，达成对疑难问题的理解、解决。(3)、多给学生写的机会，在书写过程中感受知识的应用，提高解题的规范性和正确率。1
