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1、第3章 导数及其应用滚动训练(五)一、填空题1.函数f(x)exx的单调递增区间是_.考点导数在函数中的运用题点求函数单调区间答案(0,)解析f(x)exx,f(x)ex1,由f(x)0,得ex10,即x0.2.函数f(x)x23x4在0,2上的最小值是_.考点导数在函数中的运用题点求函数最小值答案解析f(x)x22x3,令f(x)0,x0,2,得x1.比较f(0)4,f(1),f(2),可知最小值为.3.椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,若椭圆C的离心率等于,且它的一个顶点恰好是抛物线x28y的焦点,则椭圆C的标准方程为_.考点椭圆的几何性质题点求椭圆的方程答案1解析设,12,2,a4.1.
2、4.已知双曲线1(b0)的左、右焦点分别为F1,F2,其一条渐近线方程为yx,点P(,y0)在该双曲线上,则_.考点双曲线的几何性质题点双曲线的几何性质的应用答案0解析yx为渐近线方程,则b2,即双曲线方程为x2y22.当x时,y1.又双曲线的半焦距为2,F1(2,0),F2(2,0),(2,y0)(2,y0)1y110.5.若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调增函数,则m的取值范围为_.考点导数在函数中的运用题点由函数单调性求参数范围答案解析f(x)x3x2mx1,f(x)3x22xm.又f(x)在R上是单调增函数,412m0,即m.6.给出下列三个命题:“ab”是“3a3b”的充分不必
3、要条件;“”是“coscos”的必要不充分条件;“a0”是“函数f(x)x3ax2(xR)为奇函数”的充要条件.其中正确命题的序号为_.考点充分条件、必要条件、充要条件的判断题点充分条件、必要条件、充要条件的判断答案解析函数y3x为单调增函数,“ab”是“3a3b”的充要条件,故错误;ycosx是周期函数,故错误;当a0时,f(x)x3ax2x3是奇函数,反之,当f(x)x3ax2(xR)为奇函数时,由f(x)f(x)0,得a0,故正确.7.椭圆ax2by21与直线y1x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则_.考点直线与椭圆题点求椭圆中的参数答案解析设A(x1,y1),B(x
4、2,y2),则axby1,axby1,即axax(byby),1,1,(1)1,.8.从边长为10cm16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为_cm3.考点导数在函数中的运用题点导数的实际应用答案144解析设盒子容积为ycm3,盒子的高为xcm.则y(102x)(162x)x4x352x2160x(0x0,且f(1)1,则不等式f(x)的解是_.考点导数在函数中的运用题点函数单调性解不等式答案(1,)解析令g(x)exf(x),则g(x)exf(x)exf(x)0,所以函数g(x)是R上的增函数,又不等式f(x)等价于exf(x)ee1f(1),
5、即g(x)g(1),从而有x1,所以不等式f(x)的解集为(1,).10.曲线y(x0)与曲线ylnx公切线(切线相同)的条数为_.考点导数的几何意义题点函数图象切线问题答案1解析设公切线l与曲线y切于点A(x10,故f(x)在(0,)上单调递增,由于f(1)30,所以f(x)在(0,)上有唯一解,即方程lnx210有唯一解,从而方程组(*)有唯一解,故两条曲线公切线的条数为1.二、解答题11.已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.考点导数在函数中的运用题点函数单调性和最值问题解(1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0,得xk1.当
6、x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,k1)k1(k1,)f(x)0f(x)极小值所以f(x)的单调递减区间是(,k1);单调递增区间是(k1,).(2)当k10,即k1时,函数f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k;当0k11,即1k0).当f(x)0,x(0,1)时,函数f(x)3x2x2lnx单调递增;当f(x)0,x(1,)时,函数f(x)3x2x2lnx单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,).(2)f(x)4x,若函数f(x)在区间1,2上为单调函数,即在1,2上,f(x)4x0或f(x)4x0,即
7、4x0或4x0在1,2上恒成立,即4x或4x.令h(x)4x,因为函数h(x)在1,2上单调递增,所以h(2)或h(1),即或3,解得a0或0a或a1.即a的取值范围为(,0)1,).13.已知函数f(x)lnxax1(aR),g(x)x22bx4.当a时,若对任意x1(0,2),存在x21,2,使f(x1)g(x2),求实数b的取值范围.考点导数在函数中的运用题点导数的综合运用解由f(x)0知,x11,x23(0,2),当x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增,所以f(x)在(0,2)上的最小值为f(1).由于“对任意x1(0,2),存在x21,2,使f(x1)g(x2)”等价于“
8、g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值”.(*)又g(x)(xb)24b2,x1,2,所以当b0,此时与(*)矛盾;当b1,2时,因为g(x)min4b20,同样与(*)矛盾;当b(2,)时,因为g(x)ming(2)84b,解不等式84b,可得b.综上,b的取值范围是.三、探究与拓展14.设D是函数yf(x)定义域内的一个区间,若存在x0D,使f(x0)x0,则称x0是f(x)的一个“次不动点”,也称f(x)在区间D上存在“次不动点”,若函数f(x)ax23xa在区间1,4上存在“次不动点”,则实数a的取值范围为_.考点导数在函数中的运用题点导数的综合运用答案解析设g
9、(x)f(x)x,依题意知,存在x1,4,使g(x)f(x)xax22xa0.当x1时,g(1)0;当x1时,由ax22xa0,得a.记h(x)(10;当x(2,4)时,h(x)0,且对任意的x1,x21,e,都有|f(x1)f(x2)|,求实数a的取值范围.考点导数在函数中的运用题点导数的综合运用解(1)f(x)(x0),当x1,)时,f(x)0,又f(e)f(1)4e210,故f(x)maxf(e)e24,当xe时,取等号.(2)易知x1,故x1,e,方程f(x)0根的个数等价于x(1,e时,方程a根的个数.设g(x),g(x).当x(1,)时,g(x)0,函数g(x)单调递增.又g(e)e2,g()2e,作出yg(x)与直线ya的图象(图略),当2eae2,即e2a2e时,方程f(x)0有2个相异的根;当a2e时,方程f(x)0有0个根.(3)当a0时,f(x)在x1,e时是增函数,又函数y是减函数,不妨设1x1x2e,则等价于f(x2)f(x1),即f(x2)f(x1),故原题等价于函数h(x)f(x)在x1,e时是减函数,h(x)2x0恒成立,即a2x2在x1,e时恒成立.y2x2在x1,e时是减函数,a2e2.即实数a的取值范围为.9