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1、第3章 导数及其应用滚动训练(五)一、填空题1.函数f(x)exx的单调递增区间是_.考点导数在函数中的运用题点求函数单调区间答案(0，)解析f(x)exx，f(x)ex1，由f(x)0，得ex10，即x0.2.函数f(x)x23x4在0,2上的最小值是_.考点导数在函数中的运用题点求函数最小值答案解析f(x)x22x3，令f(x)0，x0,2，得x1.比较f(0)4，f(1)，f(2)，可知最小值为.3.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x28y的焦点，则椭圆C的标准方程为_.考点椭圆的几何性质题点求椭圆的方程答案1解析设，12，2，a4.1.
2、4.已知双曲线1(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在该双曲线上，则_.考点双曲线的几何性质题点双曲线的几何性质的应用答案0解析yx为渐近线方程，则b2，即双曲线方程为x2y22.当x时，y1.又双曲线的半焦距为2，F1(2,0)，F2(2,0)，(2，y0)(2，y0)1y110.5.若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调增函数，则m的取值范围为_.考点导数在函数中的运用题点由函数单调性求参数范围答案解析f(x)x3x2mx1，f(x)3x22xm.又f(x)在R上是单调增函数，412m0，即m.6.给出下列三个命题：“ab”是“3a3b”的充分不必
3、要条件；“”是“coscos”的必要不充分条件；“a0”是“函数f(x)x3ax2(xR)为奇函数”的充要条件.其中正确命题的序号为_.考点充分条件、必要条件、充要条件的判断题点充分条件、必要条件、充要条件的判断答案解析函数y3x为单调增函数，“ab”是“3a3b”的充要条件，故错误；ycosx是周期函数，故错误；当a0时，f(x)x3ax2x3是奇函数，反之，当f(x)x3ax2(xR)为奇函数时，由f(x)f(x)0，得a0，故正确.7.椭圆ax2by21与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则_.考点直线与椭圆题点求椭圆中的参数答案解析设A(x1，y1)，B(x
4、2，y2)，则axby1，axby1，即axax(byby)，1，1，(1)1，.8.从边长为10cm16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_cm3.考点导数在函数中的运用题点导数的实际应用答案144解析设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm.则y(102x)(162x)x4x352x2160x(0x0，且f(1)1，则不等式f(x)的解是_.考点导数在函数中的运用题点函数单调性解不等式答案(1，)解析令g(x)exf(x)，则g(x)exf(x)exf(x)0，所以函数g(x)是R上的增函数，又不等式f(x)等价于exf(x)ee1f(1)，
5、即g(x)g(1)，从而有x1，所以不等式f(x)的解集为(1，).10.曲线y(x0)与曲线ylnx公切线(切线相同)的条数为_.考点导数的几何意义题点函数图象切线问题答案1解析设公切线l与曲线y切于点A(x10，故f(x)在(0，)上单调递增，由于f(1)30，所以f(x)在(0，)上有唯一解，即方程lnx210有唯一解，从而方程组(*)有唯一解，故两条曲线公切线的条数为1.二、解答题11.已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.考点导数在函数中的运用题点函数单调性和最值问题解(1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.当
6、x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)极小值所以f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，).(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k0).当f(x)0，x(0,1)时，函数f(x)3x2x2lnx单调递增；当f(x)0，x(1，)时，函数f(x)3x2x2lnx单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，).(2)f(x)4x，若函数f(x)在区间1,2上为单调函数，即在1,2上，f(x)4x0或f(x)4x0，即
7、4x0或4x0在1,2上恒成立，即4x或4x.令h(x)4x，因为函数h(x)在1,2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，解得a0或0a或a1.即a的取值范围为(，0)1，).13.已知函数f(x)lnxax1(aR)，g(x)x22bx4.当a时，若对任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，求实数b的取值范围.考点导数在函数中的运用题点导数的综合运用解由f(x)0知，x11，x23(0,2)，当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在(0,2)上的最小值为f(1).由于“对任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)”等价于“
8、g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值”.(*)又g(x)(xb)24b2，x1,2，所以当b0，此时与(*)矛盾；当b1,2时，因为g(x)min4b20，同样与(*)矛盾；当b(2，)时，因为g(x)ming(2)84b，解不等式84b，可得b.综上，b的取值范围是.三、探究与拓展14.设D是函数yf(x)定义域内的一个区间，若存在x0D，使f(x0)x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”，若函数f(x)ax23xa在区间1,4上存在“次不动点”，则实数a的取值范围为_.考点导数在函数中的运用题点导数的综合运用答案解析设g
9、(x)f(x)x，依题意知，存在x1,4，使g(x)f(x)xax22xa0.当x1时，g(1)0；当x1时，由ax22xa0，得a.记h(x)(10；当x(2,4)时，h(x)0，且对任意的x1，x21，e，都有|f(x1)f(x2)|，求实数a的取值范围.考点导数在函数中的运用题点导数的综合运用解(1)f(x)(x0)，当x1，)时，f(x)0，又f(e)f(1)4e210，故f(x)maxf(e)e24，当xe时，取等号.(2)易知x1，故x1，e，方程f(x)0根的个数等价于x(1，e时，方程a根的个数.设g(x)，g(x).当x(1，)时，g(x)0，函数g(x)单调递增.又g(e)e2，g()2e，作出yg(x)与直线ya的图象(图略)，当2eae2，即e2a2e时，方程f(x)0有2个相异的根；当a2e时，方程f(x)0有0个根.(3)当a0时，f(x)在x1，e时是增函数，又函数y是减函数，不妨设1x1x2e，则等价于f(x2)f(x1)，即f(x2)f(x1)，故原题等价于函数h(x)f(x)在x1，e时是减函数，h(x)2x0恒成立，即a2x2在x1，e时恒成立.y2x2在x1，e时是减函数，a2e2.即实数a的取值范围为.9
