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1、2.4.2抛物线的几何性质学习目标：1.掌握抛物线的简单几何性质(重点)2.会用抛物线的几何性质处理简单问题(难点)3.直线与抛物线的公共点问题(易错点)自 主 预 习探 新 知教材整理1抛物线的几何性质阅读教材P52表格的部分，完成下列问题类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图象性质焦点FFFF准线xxyy范围x0，yRx0，yR xR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线是中心对称图形()(2)抛物线的范围是xR.()(3)抛物线是轴对称图形()(4)过抛物线的
2、焦点且垂直于对称轴的弦长是p.()(5)抛物线x22py(p0)上任意一点P(x0，y0)到其焦点的距离是x0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2若椭圆1的左焦点在抛物线y22px(p0)的准线上，则p_.解析由椭圆标准方程知a24，b23，所以c2a2b21，所以椭圆的左焦点为(1,0)，因为椭圆左焦点在抛物线y22px(p0)的准线上，所以1，故p2.答案2教材整理2抛物线的焦点弦、通径阅读教材P52例1上面的部分，完成下列问题抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦弦长公式为ABx1x2p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B02p，称为抛物线的通径1
3、过抛物线y24x的焦点F做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，则线段AB的长为_. 【导学号：71392097】解析易知线段AB为抛物线的通径，所以AB4.答案42如图242，过抛物线x24y的焦点作直线垂直于y轴，交抛物线于A，B两点，O为抛物线的顶点，则OAB的面积是_图242解析F(0，1)，将y1代入得xA2，AB4，SOAB412.答案2合 作 探 究攻 重 难依据抛物线的几何性质求抛物线标准方程(1)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py (p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_(2)已知抛物线的焦点F在x轴正
4、半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为_. 【导学号：71392098】自主解答(1)双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，2，ba，双曲线的渐近线方程为xy0，抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，p8.所求的抛物线方程为x216y.(2)不妨设抛物线的方程为y22px，如图所示，AB是抛物线的通径，AB2p，又OFp，SOABABOF2ppp24，故p2.答案(1)x216y(2)y24x名师指津利用抛物线几何性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准
5、线：解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点：解决焦点弦问题.再练一题1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x216y2144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为_解析椭圆的方程可化为1，其短轴在y轴上，抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的标准方程为x22py或x22py(p0)，由抛物线焦点到顶点的距离为3得3，p6.抛物线的标准方程为x212y或x212y.答案x212y或x212y与抛物线有关的最值问题求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小距离. 【导学号：71392099】精彩点拨本题的解法有两种：法一，设P(t
6、，t2)为抛物线上一点，点P到直线的距离为d，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x3ym0与直线4x3y80平行且与抛物线相切，求出m的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离自主解答法一：设P(t，t2)为抛物线上的点，它到直线4x3y80的距离d.当t时，d有最小值.法二：如图，设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0，由消去y得3x24xm0，1612m0，m.最小距离为.名师指津抛物线中最值的求解策略(1)可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围.(2)当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题，一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F
7、的距离与点P到准线距离的转化.再练一题2已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_解析因为抛物线的方程为y24x，所以焦点坐标F(1，0)，准线方程为x1，所以设P到准线的距离为PB，则PBPF，P到直线l1：4x3y60的距离为PA，所以PAPBPAPFFD，其中FD为焦点到直线4x3y60的距离，所以FD2，所以距离之和最小值是2.答案2抛物线的几何性质探究问题1从几何性质上看，抛物线与双曲线有何区别和联系？提示(1)抛物线的几何性质和双曲线几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一
8、条准线，它没有对称中心(2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平2如何认识抛物线的焦点弦？提示如图，AB是抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.(1)以AB为直径的圆必与准线l相切；(2)AB2(焦点弦长与中点关系)；(3)ABx1x2p；(4)若直线AB的倾斜角为，则AB；如当90时，AB叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；(5)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1
9、x2，y1y2p2；(6).3设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦半径PF、焦点弦AB，如何表示提示标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦半径PFPFx0PFx0PFy0PFy0焦点弦ABABx1x2pABpx1x2ABy1y2pABpy1y2已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且ABp，求AB所在的直线方程. 【导学号：71392100】精彩点拨求AB所在直线的方程的关键是确定直线的斜率k，利用直线AB过焦点F，ABx1x2pp求解自主解答由题意可知，抛
10、物线y22px(p0)的准线为x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到抛物线准线的距离分别为dA，dB.由抛物线的定义，知AFdAx1，BFdBx2，于是ABx1x2pp，x1x2p.当x1x2时，AB2p0)，如何判断直线与抛物线的交点个数？提示直线与抛物线交点的个数等价于方程组的解的个数，也等价于方程ky22py2bp0的解的个数(1)若k0，当0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当0)相交，有一个公共点特别地，当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为xm，则当m0时，l与抛物线相交，有两个公共点；当m0时，l与抛物线相切，有一个公共点；当m0，得2b10，即b.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21b，x1x2，|x1x2|，|AB|x1x2|3，12b9，即b4.答案4当 堂 达 标固 双 基1经过抛物线y2
