2020年辽宁省朝阳二中高二（下）期中数学试卷解析版（理科）

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1、第 1 页 共 11 页 期中数学试卷 理科 期中数学试卷 理科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 从 5 名男学生 4 名女学生中选 3 名学生组成一个研究性学习小组 要求其中男 女学生都有 则不同的选法有 A 70 种B 80 种C 100 种D 140 种 2 函数 y 在 0 2 上的最大值是 A B C 0D 3 在复平面内 复数 z i 1 2i 对应的点位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 4 用反证法证明命题 a b N 如果 ab 可被 5 整除 那么 a b 至少有 1 个能被 5 整除 则假设的内容是 A a

2、 b 都能被 5 整除B a b 有 1 个不能被 5 整除 C a 不能被 5 整除D a b 都不能被 5 整除 5 的展开式中 x4的系数为 A 16B 8C 2D 1 6 已知两随机变量 X Y 6 若 X B 8 0 5 则 E X 和 D Y 分别为 A 6 和 4B 4 和 2C 6 和 2 4D 2 和 4 7 所有 9 的倍数 M 都是 3 的倍数 P 某奇数 S 是 9 的倍数 M 故此 奇数 S 是 3 的倍数 P 上述推理是 A 小前提错B 结论错C 正确的D 大前提错 8 1 2x2 dx 的值等于 A B C D 9 要做一个圆锥形漏斗 其母线长为 20 厘米 要使

3、其体积最大 则其高应为 厘米 A B 100C 20D 10 已知随机变量 X 的分布列如下 E X 7 5 则 ab 的值是 X4a910 P0 30 1b0 2 A 1 8B 2 4C 2 8D 3 6 11 把四个不同的小球放入三个分别标有 1 3 号的盒子中 不允许有空盒子的放法有 A 12 种B 24 种C 36 种D 48 种 12 已知可导函数 f x x R 满足 f x f x 则当 a 0 时 f a 和 eaf 0 大小关系为 A f a eaf 0 B f a eaf 0 C f a eaf 0 D f a eaf 0 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分

4、第 2 页 共 11 页 13 一同学在电脑中打出如下图形 表示空心圆 表示实心圆 若将此若干个圆依此规律继续下去 得到一系列的圆 那么前 2019 个圆 中有实心圆的个数为 14 已知 X N 0 1 且 P 2 X 0 0 48 则 P X 2 等于 15 若复数 z 1 i i 为虚数单位 若 W z2 3z 2 i 则复数 W 的共轭复数是 16 已知实数 a b c d 成等比数列 且对函数 y ln x 2 x 当 x b 时取到极大值 c 则 ad 三 解答题 本大题共 6 小题 共 72 0 分 17 设 其中 a 0 且 a 1 1 5 2 3 请你推测 g 5 能否用 f

5、2 f 3 g 2 g 3 来表示 2 如果 1 中获得了一个结论 请你推测能否将其推广 18 一个口袋内有 4 个不同的红球 6 个不同的白球 1 从中任取 4 个球 红球的个数不比白球少的取法有多少种 2 若取一个红球记 2 分 取一个白球记 1 分 从中任取 5 个球 使总分不少于 7 分 的取法有多少种 19 已知虚数 z 满足 2z 1 i z 2 2i i 为虚数单位 1 求 z 的值 2 若 求实数 m 的值 20 已知数列 an 满足 a1 a an 1 n N 1 求 a2 a3 a4 第 3 页 共 11 页 2 猜测数列 an 的通项公式 并用数学归纳法证明 21 某公司

6、对员工实行新的临时事假制度 每位员工每月在正常的工作时间临时有事 可请假至多三次 每次至多一小时 现对该制度实施以来 50 名员工请假的次 数进行调查统计 结果如下表所示 请假次数0123 人数5102015 根据上表信息解答以下问题 1 从该公司任选两名员工 求这两人请假次数之和恰为 4 的概率 2 从该公司任选两名员工 用 表示这两人请假次数之差的绝对值 求随机变 量 的分布列及数学期望 E 22 已知函数 f x kxlnx k R 1 若 k 0 求函数 f x 的单调区间 2 当函数 e 为自然对数的底数 x e 3 的最大值为 时 求 k 的值 第 4 页 共 11 页 答案和解析

7、答案和解析 1 答案 A 解析 解 根据题意 共有 9 名学生 从中任取 3 人 有 C93 84 种取法 其中只有男生的有 C53 10 种取法 只有女生的有 C43 4 种取法 则男 女学生都有的选法有 84 10 4 70 种 故选 A 用排除法 首先计算从 9 名学生中任取 3 人的取法数目 再计算其中其中只有男生与其 中只有女生的取法数目 由排除法计算可得答案 本题考查排列 组合的运用 解题时注意使用排除法 可以避免分类讨论 2 答案 A 解析 分析 本题考查求函数的单调性 最值问题 考查导数的应用 属于基础题 求出函数的导数 解关于导函数的不等式 从而求出函数的单调区间 求出函数的

8、最大 值即可 解答 解 y x 0 2 令 y 0 解得 x 1 令 y 0 解得 x 1 函数 y 在 0 1 递增 在 1 2 递减 当 x 1 时 y最大值 故选 A 3 答案 B 解析 解 z i 1 2i i 2i 2 i 复数 z 所对应的点为 2 1 故选 B 按多项式乘法运算法则展开 化简为 a bi a b R 的形式 即可确定复数 z 所在象 限 本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系 属于基础知识的考查 4 答案 D 解析 解 由于反证法是命题的否定的一个运用 故用反证法证明命题时 可以设其 否定成立进行推证 命题 a b N 如果 ab 可被 5 整除 那么 a

9、 b 至少有 1 个能被 5 整除 的否定是 a b 都不能被 5 整除 故选 D 反设是一种对立性假设 即想证明一个命题成立时 可以证明其否定不成立 由此得出 此命题是成立的 反证法是命题的否定的一个重要运用 用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技 巧 第 5 页 共 11 页 5 答案 D 解析 解 的展开式的通项为 令 得 r 8 的展开式中 x4的系数为 故选 D 写出二项展开式的通项 整理后再由 x 的指数为 4 求得 r 值 则答案可求 本题考查二项式定理的应用 关键是熟记二项展开式的通项 是基础题 6 答案 B 解析 解 由题意 X B 8 0 5 知随机变量 X 服从二项分

10、布 n 8 p 0 5 则均值 E X np 4 方差 D X npq 2 又 X Y 6 Y X 6 E Y E X 6 4 6 2 D Y D X 2 则 E X 和 D Y 分别为 4 和 2 故选 B 先由 X B 8 0 5 求出均值 E X 方差 D X 然后由 X Y 6 得 Y X 6 再 根据公式求解即可 解题关键是若两个随机变量 Y X 满足一次关系式 Y aX b a b 为常数 当已知 E X D X 时 则有 E Y aE X b D Y a2D X 7 答案 C 解析 解 在推理过程 所有 9 的倍数 M 都是 3 的倍数 P 某奇数 S 是 9 的倍数 M 故此奇

11、数 S 是 3 的倍数 P 中 所有 9 的倍数 M 都是 3 的倍数 P 为大前提 正确 某奇数 S 是 9 的倍数 M 为小前提正确 故此奇数 S 是 3 的倍数 P 为结论 整个推理过程的逻辑结构正确 故命题正确 故选 C 演绎推理出现错误 有三种可能 一种是大前提错误 第二种是小前提错误 第三种是 逻辑结构错误 在大前提 小前提及逻辑结构均正确的情况下 演绎推理的结论一定是 正确的 归纳推理和演绎推理会出现错误的原因是由合情推理的性质决定的 但演绎推理出现错 误 有三种可能 一种是大前提错误 第二种是小前提错误 第三种是逻辑结构错误 在大前提 小前提及逻辑结构均正确的情况下 演绎推理的

12、结论一定是正确的 8 答案 D 解析 解 1 2x2 dx x x3 2 故选 D 直接利用定积分运算法则求解即可 第 6 页 共 11 页 本题考查定积分的应用 考查计算能力 9 答案 A 解析 解 设圆锥的高为 x 则底面半径为 其体积为 V x 202 x2 0 x 20 V 400 3x2 令 V 0 解得 x1 x2 舍去 当 0 x 时 V 0 当 x 20 时 V 0 当 x 时 V 取最大值 故选 A 设出圆锥的高 x 求出底面半径 推出体积的函数表达式 利用导数求出体积取最大值 时的高即可 本题考查旋转体问题 以及利用导数求函数的最值问题 考查计算能力 是中档题 10 答案

13、C 解析 解 由题意可得 0 3 0 1 b 0 2 1 解得 b 0 4 又 E X 7 5 可得 7 5 4 0 3 0 1a 9 0 4 10 0 2 解得 a 7 所以 ab 2 8 故选 C 利用分布列求出 b 通过期望求解 a 然后求解 ab 即可 本题考查了分布列的性质 数学期望计算公式 考查了推理能力与计算能力 属于中档 题 11 答案 C 解析 解 根据题意 四个不同的小球放入三个分别标有 1 3 号的盒子中 且没有 空盒 三个盒子中有 1 个中放 2 个球 剩下的 2 个盒子中各放 1 个 则分 2 步进行分析 先将四个不同的小球分成 3 组 有 C42 6 种分组方法 将

14、分好的 3 组全排列 对应放到 3 个盒子中 有 A33 6 种放法 则不允许有空盒子的放法 6 6 36 种 故选 C 根据题意 分 2 步进行分析 先将四个不同的小球分成 3 组 将分好的 3 组全 排列 对应放到 3 个盒子中 由分步计数原理计算可得答案 本题考查排列 组合的应用 注意要先分组 再进行排列 12 答案 B 解析 解 由题意知 可设函数 f x e2x 则导函数 f x 2 e2x 显然满足 f x f x f a e2a eaf 0 ea 当 a 0 时 显然 e2a ea 即 f a eaf 0 故选 B 设函数 f x e2x 则导函数 f x 2 e2x 显然满足

15、f x f x 由 f a e2a eaf 0 ea 比较得出结论 第 7 页 共 11 页 本题考查求复合函数的导数的方法 以及指数函数的单调性 利用构造法求解是我们选 择题常用的方法 13 答案 62 解析 解 n 1 时 圆的总个数是 2 n 2 时 圆的总个数是 5 即 5 2 3 n 3 时 圆的总个数是 9 即 9 2 3 4 n 4 时 圆的总个数是 14 即 14 2 3 4 5 n n 时 圆的总个数是 2 3 4 n 1 2 3 4 63 2015 2019 2 3 4 63 64 2079 2019 在前 2019 个圆中 共有 62 个实心圆 故答案为 62 本题可依次

16、解出空心圆个数 n 1 2 3 圆的总个数 再根据规律 可得出前 2019 个圆中 实心圆的个数 本题主要考查归纳推理 解答关键是从圆的个数的变化规律中寻求规律 后建立数列模 型解决问题 14 答案 0 02 解析 解 做出 X N 0 1 对应的 正态函数图象如 右图所示 该函数图象 关于 y 轴对称 所以 P 2 X 0 P 0 X 2 0 48 故 P X 2 P X 2 故答案为 0 02 这是一个标准正态函数的图象应用问 题 根据图象的对称性以及 P 2 X 0 0 48 和 P X 2 的几何意义 解决问题 本题主要是考查了正态分布密度函数的图象以及概率的几何意义 同时考查了学生利用 数形结合思想解题的能力 属于基础题 15 答案 1 4i 解析 解 复数 z 1 i i 为虚数单位 故 W z2 3z 2 i 1 i 2 3 1 i 2 i 1 4i 复数 W 的共轭复数是 1 4i 故答案为 1 4i 先由复数代数形式的四则运算化简得 再结合共轭复数的定义得答案 本题考查复数代数形式的四则运算 考查复数的基本概念 是基础题 16 答案 1 解析 解 由题意可得 函数 y