《2020年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（下）期中数学试卷解析版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（下）期中数学试卷解析版（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 14 页 期中数学试卷 期中数学试卷 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 10 小题 共 40 0 分 1 已知直线 l 2x y 1 0 与直线 l2 ax y 0 平行 若 l1 l2 则 a A 2B C 2D 2 已知椭圆 1 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3 则点 P 到另一个焦点的 距离为 A 2B 3C 7D 5 3 函数 f x cosx sinx 则 A B C D 4 方程 x2 y2 2x x y 2 0 表示的曲线是 A 一个圆和一条射线B 一个圆和一条直线 C 一个圆D 一条直线 5 已知函数 y f x 的导函数 f x 的图象如图
2、所示 则 A 函数 y f x 的区间上单调递减 B 当 x 3 时函数 y f x 取得极小值 C D 当时函数 y f x 取得极大值 6 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 考查下列命题 1 若 m n m n m n 则 2 若 m 则 m 3 若 m n 则 m n 4 若 m n n m 则 其中真命题是 A 1 2 B 1 4 C 1 3 D 2 4 7 已知直三棱柱 ABC A1B1C1中 CAB 120 AA1 2 则异面直线 AB1与 CA1所成角的余 弦值为 第 2 页 共 14 页 A B C D 8 已知点 A a b B x y 为抛物线 y x 1 2
3、上两点 且 x a 记 AB g x 若函数 g x 在定义域 a 上单调递减 点 A 坐标不可能是 A 1 0 B 0 1 C 1 4 D 3 4 9 抛物线 y2 2px p 0 的准线交 x 轴于点 C 焦点为 F A B 物线上的两点 若 A B C 三点共线 且满足 AF BF AB 设直线 AB 的斜率为 k 则有 A B C D 10 在矩形 ABCD 中 AD 1 AB 2 若点 E 满足 将 ADE 沿 AE 翻折 当 D 在面 ABCE 内的投影在 BAE 的平分线上时 分别记二面角 D AE B D AB E D CE B D BC A 的平面角分别为 则 A 且 B 且
4、 C 且 D 且 二 填空题 本大题共 7 小题 共 36 0 分 11 已知复数 i 是虚数单位 则复数 z 的共轭复数 z 12 已知双曲线 C1 与椭圆 C2 有相同的焦点 则 m 双 曲线 C1的渐近线方程为 13 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 表面积为 14 已知圆 C x a 2 y b 2 2 圆心 C 在曲线 y x 1 2 上 则 ab 直线 l x 2y 0 被圆 C 所截得的长度的取值范围是 第 3 页 共 14 页 15 已知圆台上底面半径为 下底面半径为 母线长为 2 AB 为圆台母线 一只蚂蚁 从点 A 出发绕圆台侧面一圈到点 B 则蚂蚁经过的最
5、短路径长度为 16 已知椭圆 长轴的右端点为 A 其中 O 为坐标原点 若椭圆上不 存在点 P 使 AP 垂直 PO 则椭圆的离心率的最大值为 17 已知函数 f x ex ax a2的零点不少于两个 则实数 a 的取值范围 三 解答题 本大题共 5 小题 共 74 0 分 18 已知函数 f n 1 3 5 1 n 2n 1 n N 1 求 f n 1 f n 2 用数学归纳法证明 f n 1 n n 19 已知点 P 1 0 Q 4 0 一动点 M 满足 MQ 2 MP 1 求点 M 的轨迹方程 2 过点 A 2 3 的直线 l 与 1 中的曲线有且仅有一个公共点 求直线 l 的 方程 2
6、0 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是直角梯形 AB CD BCD 90 AB AD 2DC 2 PAD 为正三角形 二面角 P AD C 的大小为 1 线段 AD 的中点为 M 求证 平面 PMB 平面 ABCD 2 求直线 BA 与平面 PAD 所成角的正弦值 21 已知抛物线 C 的对称轴为 x 轴 点 P 1 2 在抛物线 C 上 A B 是抛物线 C 上 不同的两点 直线 PA PB 的斜率为 k1 k2 满足 k1 k2 4 1 求抛物线的标准方程 2 证明 直线 AB 过定点 第 4 页 共 14 页 3 当点 P 到直线 AB 距离最大时 求 PAB 的面积 22 已
7、知函数 f x x2 x alnx a R 1 若不等式 f x 0 无解 求 a 的值 2 若函数 f x 存在两个极值点 x1 x2 且 x1 x2 当恒成立时 求实数 m 的最小值 第 5 页 共 14 页 答案和解析答案和解析 1 答案 C 解析 解 l1 l2 2 a 0 解得 a 2 故选 C 利用直线相互平行与斜率之间的关系即可得出 本题考查了直线相互平行与斜率之间的关系 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 2 答案 C 解析 分析 本题主要考查椭圆的定义 在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中 圆锥曲线的定义往往是解题的突破口 先根据条件求出 a 5 再根据椭圆定
8、义得到关于所求距离 d 的等式即可得到结论 解答 解 设所求距离为 d 由题得 a 5 根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于 2a 得 2a 3 d d 2a 3 7 故选 C 3 答案 C 解析 解 f x cosx sinx 故选 C 可以求出导函数 f x cosx sinx 带入即可求出的值 考查基本初等函数的求导公式 以及已知函数求值的方法 4 答案 B 解析 解 方程 x2 y2 2x x y 2 0 等价于 x y 2 0 或 x2 y2 2x 0 在直角坐标系中 方程 x y 2 0 图象为一条直线 x2 y2 2x 0 配方得 x 1 2 y2 1 方程表示以
9、1 0 为圆心 以 1 为半径的圆 故 x2 y2 2x x y 2 0 表示一条直线和一个圆 故选 B 方程 x2 y2 2x x y 2 0 等价于 x y 2 0 或 x2 y2 2x 0 进行分析 得结论 本题考查曲线与方程 重点是对于方程的理解 属于基础题 5 答案 B 解析 解 由导函数的图象 可知 x 4 x 1 3 时 f x 0 函 数是减函数 第 6 页 共 14 页 x 4 x 1 x 3 时 f x 0 函数是增函数 所以 A 函数 y f x 的区间上单调递减不正确 当 x 3 时函数 y f x 取得极小值正确 所以 C 不正确 当时函数 y f x 取得极小值 所
10、以 D 不正确 故选 B 利用导函数的图象 判断函数的单调性以及函数的极值点 即可推出结果 本题考查函数的导数的应用 函数的单调性以及函数的极值的求法 考查转化思想以及 计算能力 6 答案 B 解析 解 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 1 若 m n m n m n 则 正确 反之若 l 由 m m 由线面平行的性质定理可得 m l 同样由 n n 由线面平行的性质定理可得 n l 则 m n 这与 m n 矛盾 故 1 正确 2 若 m 由线面垂直和面面垂直的性质定理 以及线面的位置关系可得 m 或 m 故 2 错误 3 若 m 可得 m 或 m 又 n 则 m n 平行或相交或
11、异面 故 3 错误 4 若 m n n 可得 m 又 m 则 故 4 正确 故选 B 考虑 相交 运用线面平行的性质定理 推得 m n 即可判断 1 由线面垂直和 面面垂直的性质定理 以及线面的位置关系 可判断 2 由线面垂直和面面垂直的 性质定理 以及线线的位置关系可判断 3 由线面垂直和面面垂直的判定定理 即 可判断 4 本题考查空间线线 线面和面面的位置关系 主要是平行 垂直的判定和性质的运用 考查空间想象能力和推理能力 属于基础题 7 答案 D 解析 解 取 AA1的中点为 E AC 的中点 为 D A1B1的中点为 F AB 的中点为 H 连接 DE EF FH HD FD 因为 E
12、F B1A ED A1C 即 FED 或其补角 为异面直线 AB1与 CA1所成角 在直角三角形 FHD 中 可得 FD2 FH2 HD2 22 2 又易得 EF ED 在三角形 DEF 中 由余弦定理可得 cos FED 第 7 页 共 14 页 即异面直线 AB1与 CA1所成角的余弦值为 故选 D 由异面直线所成角的作法可得 FED 或其补角 为异面直线 AB1与 CA1所成角 再 由异面直线所成角的求法利用余弦定理即可得解 本题考查了异面直线所成角的作法及求法 属中档题 8 答案 D 解析 解 由题意可知 当 A 3 4 时 不妨取 B 1 0 则 AB 2 当 B 0 1 时 AB
13、3 而 1 0 且 2 3 显然这与函数 g x 在定义域 a 上单调递减矛盾 即 A 的坐标不可能是 3 4 故选 D 考虑当 A 3 4 时 不妨取 B 1 0 和 B 0 1 计算两点的距离 AB 结合 单调性的定义 即可得到所求结论 本题考查抛物线的方程和运用 以及两点的距离公式 函数单调性的定义 属于基础题 9 答案 A 解析 解 设 A x1 y1 B x1 y1 AB 所在直线方程为 y k x 联立方程 整理得 k2x2 p k2 2 x 0 x1 x2 p x1x2 如右图 由抛物线的定义可知 AF AD x1 BF BE x2 AB x1 x2 第 8 页 共 14 页 x
14、1 x2 p 即 p p 解得 k2 故选 A 画出示意图 设出直线的方程 由抛物线的定义可知 AF AD x1 BF BE x2 进而求解 考察对抛物线定义的理解 以及两点间公式与方程根和斜率的关系 10 答案 D 解析 解 在矩形 ABCD 中 AD 1 AB 2 若点 E 满足 将 ADE 沿 AE 翻折 当 D 在面 ABCE 内的投影在 BAE 的平分 线上时 分别记二面角 D AE B D AB E 的平面角 分别为 则 当 时 如图 当 D 在面 ABCE 内的投影在 BAE 的平分线 O O 到 BC 的距离大于 O 到 CE 的距离 所以 D CE B D BC A 的平面角
15、分别为 故选 D 利用已知条件判断 然后利用 的特殊值 判断 的大小 即可得到选项 本题考查二面角的平面角的判断 以及重要结论的应用 是基本知识的考查 11 答案 1 i 解析 解 z 故答案为 1 i 利用复数代数形式的乘除运算化简 求其共轭复数 再由复数模的计算公式求模 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数的基本概念 考查复数模的求法 是基础 题 12 答案 5 解析 解 双曲线 C1 与椭圆 C2 有相同的焦点 可得 2 m 16 9 解得 m 5 双曲线 C1 渐近线方程为 故答案为 5 通过双曲线与椭圆的焦点相同 列出方程求解 m 然后求解双曲线的渐近线方程 本题考查双曲线的简单
16、性质的应用 椭圆的简单性质的应用 是基本知识的考查 第 9 页 共 14 页 13 答案 3 解析 解 根据几何体的三视图 转换为几何体为 该几何体为正方体 沿面的对角线在左下角和右上角各截去一个三棱锥体 故 V S 6 3 3 故答案为 3 首先把几何体的三视图转换为几何体 进一步利用几何体的体积和表面积公式的应用求 出结果 本题考查的知识要点 三视图和直观图之间的转换 几何体的体积和表面积公式的应用 主要考察学生的运算能力和转换能力 属于基础题型 14 答案 1 解析 解 圆 C x a 2 y b 2 2 圆心 C 在曲线 y x 1 2 上 ab 1 圆心到直线的距离 d a 1 2 b 1 d 直线 l x 2y 0 被圆 C 所截得的长度的取值范围是 故答案为 1 由圆 C x a 2 y b 2 2 圆心 C 在曲线 y x 1 2 上 可得 ab 利用弦长 公式 可得结论 本题考查直线与圆位置关系的运用 考查弦长公式 考查学生的计算能力 属于中档题 15 答案 2 解析 解 设截得圆台的圆锥的 顶点为 O 将圆锥沿 AB 所在母线 展开如图 设 A 点展开图中的点 为
