《2020年安徽省安庆市五校联盟高二（下）期中数学试卷解析版（理科）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年安徽省安庆市五校联盟高二（下）期中数学试卷解析版（理科）（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 14 页 期中数学试卷 理科 期中数学试卷 理科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知 f x x3 则 f 2 A 4B 6C 8D 12 2 A B C D 3 已知 A 1 2 0 和向量 3 4 12 且 2 则点 B 的坐标为 A 7 10 24 B 7 10 24 C 6 8 24 D 5 6 24 4 函数 f x xlnx 的单调减区间是 A 0 B C D 5 由曲线 y 和 y x3所围成的封闭图形的面积为 A B C D 6 曲线 f x alnx 在点 P e f e 处的切线经过点 1 1 则 a 的值为
2、 A 1B 2C eD 2e 7 已知 P 为空间中任意一点 A B C D 四点满足任意三点均不共线 但四点共面 且 则实数 x 的值为 A B C D 8 如图 若在矩形 OABC 中随机一粒豆子 则豆子落在图中阴 影部分的概率为 A B C D 9 已知某生产厂家的年利润 y 单位 万元 与年产量 x 单位 万件 的函数关系 式为 则该生产厂家获取的最大年利润为 A 300 万元B 252 万元C 200 万元D 128 万元 第 2 页 共 14 页 10 如图 棱长为 的正四面体 ABCD 的三个顶点 A B C 分别在空间直角坐标系的坐标轴 Ox Oy Oz 上 则定点 D 的坐标
3、为 A 1 1 1 B C D 2 2 2 11 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 底面边长和侧棱长都相等 则异面直线 AB1与 BC1所 成角的余弦值为 A B C D 12 已知函数 f x ex 1 e1 x 则满足 f x 1 e e 1的 x 的取值范围是 A 1 x 3B 0 x 2C 0 x eD 1 x e 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 已知 x 2 4 1 y 3 1 2 z 且 两两垂直 则 x y z 14 已知函数 f x x3 x2 2ax 1 若函数 f x 在 1 2 上有极值 则实数 a 的取 值范围为 15 若点 P 是曲线 y x
4、2 lnx 上任意一点 则点 P 到直线 y x 2 的距离最小时点 P 的坐标 为 16 在正三棱柱 AB A1B1C1中 所有棱长均为 1 则点 B1到平面 A1BC1的距离为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 0 分 17 已知向量 1 3 2 2 1 1 点 A 3 1 4 B 2 2 2 1 求 2 2 在直线 AB 上 是否存在一点 E 使得 O 为原点 18 求满足下列条件的函数 f x 1 f x 是三次函数 且 f 0 3 f 0 0 f 1 3 f 2 0 2 f x 是一次函数 x2f x 2x 1 f x 1 第 3 页 共 14 页 19 已知函数 f x x
5、3 2ax2 3a2x b a 0 1 当 f x 的极小值为 极大值为 1 时 求函数 f x 的解析式 2 若 f x 在区间 1 2 上为增函数 在区间 6 上为减函数 求实数 a 的取值范围 20 如图 在四棱锥中 底面 底面为正方形 分别是的中点 1 求证 2 求与平面所成角的正弦值 21 如图 在 Rt ABC 中 AB BC 4 点 E 在线段 AB 上 过点 E 作 EF BC 交 AC 于 点 F 将 AEF 沿 EF 折起到 PEF 的位置 点 A 与 P 重合 使得 PEB 60 I 求证 EF PB II 试问 当点 E 在线段 AB 上移动时 二面角 P FC B 的
6、平面角的余弦值是否为 定值 若是 求出其定值 若不是 说明理由 第 4 页 共 14 页 22 已知函数 f x lnx ax2 x 1 若 f 1 0 求函数 f x 的单调减区间 2 若关于 x 的不等式 f x ax 1 恒成立 求整数 a 的最小值 3 若 a 2 正实数 x1 x2满足 f x1 f x2 x1x2 0 证明 x1 x2 第 5 页 共 14 页 答案和解析答案和解析 1 答案 D 解析 解 f x x3 则 f x 3x2 则 f 2 3 4 12 故选 D 先求导 再代值计算即可 本题考查了导数的运算和导数值的求法 属于基础题 2 答案 B 解析 解 设 由于 x
7、 0 1 利用几何意义求出结果 该定积分表达的几何意义为 以原点为圆心 1 为半径的圆的 由于整个圆的面积为 故该面积为 故选 B 直接利用定积分知识的应用和函数的几何意义的应用求出结果 本题考查的知识要点 定积分知识的应用 定积分和函数的关系式的几何意义的应用 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力 属于基础题型 3 答案 D 解析 解 设 B x y z A 1 2 0 和向量 3 4 12 且 2 x 1 y 2 z 6 8 24 解得 x 5 y 6 z 24 点 B 的坐标为 5 6 24 故选 D 设 B x y z 由 2 得到 x 1 y 2 z 6 8 24 由此能求出点
8、 B 的 坐标 本题考查点的坐标的求法 考查向量相等 向量坐标运算法则等基础知识 考查运算求 解能力 是基础题 4 答案 D 第 6 页 共 14 页 解析 解 函数的定义域为 0 函数的导数 f x lnx x 1 lnx 由 f x 0 得 1 lnx 0 得 lnx 1 得 0 x 即函数的单调递减区间为 0 故选 D 求出函数的定义域和导数 利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可 本题主要考查函数单调区间的求解 利用函数和导数之间的关系是解决本题的关键 5 答案 B 解析 解 曲线 y x3和曲线 y 的交点为 A 1 1 和原点 O 曲线 y x3和曲线 y 所围图形的面积为 S
9、 x3 dx 故选 B 作出两个曲线的图象 求出它们的交点 由此可得所求面积为函数 y x3在区间 0 1 上的定积分的值 再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案 本题求两条曲线围成的曲边图形的面积 着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式 等知识 属于基础题 6 答案 C 解析 解 由 f x alnx 得 f x 则斜率 k f e 又 f e a 切线方程为 y a 即 y 把点 1 1 代入 可得 a e 故选 C 求出原函数的导函数 得到 f e 写出曲线在点 P e f e 处的切线方程 把 点 1 1 代入求得 a 值 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程 是中档题
10、7 答案 A 解析 解 x x 又 P 是空间任意一点 A B C D 四点满足任三点均不共线 但四点共面 x 1 解得 x 故选 A 第 7 页 共 14 页 利用空间向量基本定理 及向量共面的条件 即可得到结论 本题考查空间向量基本定理 考查向量共面的条件 属于中档题 8 答案 B 解析 解 图中阴影部分的面积为 S cosxdx sinx 1 矩形的面积为 豆子落在图中阴影部分的概率为 故选 B 求出图中阴影部分的面积为 S cosxdx sinx 1 矩形的面积为 即可求出豆子落在图 中阴影部分的概率 本题简单的考查了几何概率的求解 属于容易题 难度不大 正确求面积是关键 9 答案 C
11、 解析 解 y x2 81 令 y 0 又 x 0 解得 x 9 当 0 x 9 时 y 0 函数 f x 单调递增 当 x 9 时 y 0 函数 f x 单调递减 当 x 9 时 y 有最大值 最大值是 200 万元 故选 C y x2 81 令 y 0 解得 x 9 利用导数研究其单调性即可得出 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值 考查了推理能力与计算能力 属于 基础题 10 答案 A 解析 解 将正四面体 ABCD 放入正方体中 如图所示 由已知 AB BC AC 所以 OA OB OC 1 所以点 D 的坐标为 1 1 1 故选 A 将正四面体 ABCD 放入正方体中 画出图
12、形结合图 形 即可求出点 D 的坐标 本题考查了空间位置关系的应用问题 是基础题 11 答案 C 解析 解 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 设底面边长和侧棱长都为 2 以 A 为原点 在平面 ABC 中 过 A 作 AC 的垂线为 x 轴 AC 为 y 轴 AA1为 z 轴 建立空间直角坐 标系 A 0 0 0 B1 1 2 B C1 0 2 2 1 2 设异面直线 AB1与 BC1所成角为 第 8 页 共 14 页 则 cos 异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 故选 C 以 A 为原点 在平面 ABC 中 过 A 作 AC 的垂线为 x 轴 AC 为 y 轴 AA1为 z 轴
13、建 立空间直角坐标系 利用向量法能求出异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法 考查空间中线线 线面 面面间的位置关系 等基础知识 考查运算求解能力 考查数形结合思想 是中档题 12 答案 A 解析 分析 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值 考查了推理能力与计算能力 属于 中档题 函数 f x ex 1 e1 x 则 f x 1 ex 2 e2 x 令 g x f x 1 e e 1 ex 2 e2 x e e 1 利用导数研究其单调性即可得出 解答 解 函数 f x ex 1 e1 x 则 f x 1 ex 2 e2 x 令 g x f x 1
14、 e e 1 ex 2 e2 x e e 1 g x ex 2 e2 x 令 g x 0 解得 x 2 令 ex 2 t t 0 m t 则 则 m t 在定义域上单调递增 又因为函数 y ex 2是增函数 则根据复合函数单调性 函数 g x ex 2 e2 x是单调递增的 又 g x 0 时 x 2 故有函数 g x 在 2 上单调递减 2 上单调递增 g x min g 2 2 e e 1 0 又 g 1 g 3 0 1 x 3 故选 A 13 答案 解析 解 两两垂直 0 x 2y 12 x 4 4z 2 2y 3z 0 解得 z y x 故答案为 两两垂直 可得 0 即可得出 本题考查
15、了向量垂直与数量积的关系 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 第 9 页 共 14 页 14 答案 解析 解 f x x2 2x 2a 函数 f x 在 1 2 上有极值 f x 0 在 1 2 上有变号零点 f x x2 2x 2a 在 1 2 上单调递增 解之得 故答案为 先求导函数 则导函数在 1 2 上有变号零点 根据单调性判断 求出即可 本题考查函数极值 利用导数零点 属于中等题 15 答案 1 1 解析 解 点 P 是曲线 y x2 lnx 上任意一点 当过点 P 的切线和直线 y x 2 平行时 点 P 到直线 y x 2 的距离最小 直线 y x 2 的斜率等于 1 令 y
16、x2 lnx 的导数 y 2x 令 y 1 解得 x 1 或 x 舍去 故曲线 y x2 lnx 上和直线 y x 2 平行的切线经过的切点坐标 P 1 1 点 1 1 到直线 y x 2 的距离等于 故点 P 到直线 y x 2 的最小距离为 故答案为 1 1 由题意知 当曲线上过点 P 的切线和直线 y x 2 平行时 点 P 到直线 y x 2 的距离最小 求出曲线对应的函数的导数 令导数值等于 1 可得切点的坐标 此切点到直线 y x 2 的距离即为最小值 本题考查点到直线的距离公式的应用 函数的导数的求法及导数的意义 体现了转化的 数学思想 16 答案 解析 解 设 B1到平面 A1BC1的距离为 d V V 在 A1BC1中 A1C1 1 S d 第 10 页 共 14 页 则点 B1到平面 A1BC1的距离为 故答案为 由图 B1到平面 A1BC1的距离即三棱锥 B1 A1BC1的高 而其体积与三棱锥 B A1B1C1相 等 由此知只须解出面 A1BC1的面积即可 本小题主要考查棱柱 线面关系 点到平面的距离等基本知识 同时考查空间想象能力 和推理 运算能力 17 答案
