《2020年安徽省合肥凌志班高二（下）期中数学试卷解析版（理科）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年安徽省合肥凌志班高二（下）期中数学试卷解析版（理科）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 12 页 期中数学试卷 理科 期中数学试卷 理科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知 i 是虚数单位 则复数 z 在复平面内对应的点所在的象限为 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 2 有一段 三段论 推理是这样的 对于可导函数 f x 如果 f x0 0 那么 x x0 是函数 f x 的极值点 因为函数 f x x3在 x 0 处的导数值 f 0 0 所以 x 0 是函数 f x x3的极值点 以上推理中 A 大前提错误B 小前提错误C 推理形式错误D 结论正确 3 函数 y x2 lnx 的单调递减区间为 A
2、 1 1 B 0 1 C 1 D 0 4 由曲线 直线 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 A B 4C D 6 5 利用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n N 时 从 n k 变到 n k 1 时 左边应增乘的因式是 A 2k 1B C D 6 给出一个命题 p 若 a b c d R a b 1 c d 1 且 ac bd 1 则 a b c d 中至少有一个小于零 在用反证法证明 p 时 应该假设 A a b c d 中至少有一个正数B a b c d 全为正数 C a b c d 全都大于或等于 0D a b c d 中至多有一个负数 7 三角形
3、的面积为三角形的边长 r 为三角形内切圆的 半径 利用类比推理 可得出四面体的体积为 A B C S1 S2 S3 S4分别为四面体的四个面的面积 r 为 四面体内接球的半径 D 8 已知函数 f x ln 4x x2 则 A f x 在 0 4 单调递增 B f x 在 0 4 单调递减 C y f x 的图象关于直线 x 2 对称 D y f x 的图象关于点 2 0 对称 第 2 页 共 12 页 9 若函数在区间内存在单调递增区间 则实数 a 的取值范 围是 A B C D 10 设 a sin1 b 2sin c 3sin 则 A c a bB a c bC a b cD c b a
4、 11 已知函数 f x x R 的图象上任一点 x0 y0 处的切线方程为 y y0 x0 2 x02 1 x x0 那么函数 f x 的单调递减区间是 A 1 B 2 C 1 和 1 2 D 2 12 关于函数 f x lnx 下列说法错误的是 A x 2 是 f x 的极小值点 B 函数 y f x x 有且只有 1 个零点 C 存在正实数 k 使得 f x kx 恒成立 D 对任意两个不相等的正实数 x1 x2 若 f x1 f x2 则 x1 x2 4 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 已知 a dx 则 a 的值为 14 已知 ABC 的三边 a b c 既成
5、等差数列 又成等比数列 则 ABC 的形状是 15 设 a 为实数 若函数 存在零点 则实数 a 的取值范围是 16 若函数 f x lnx 与函数 g x x2 2x a x 0 有公切线 则实数 a 的取值范围 是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 0 分 17 已知复数 z a2 4 a 2 i a R 若 z 为纯虚数 求实数 a 的值 若 z 在复平面上对应的点在直线 x 2y 1 0 上 求实数 a 的值 18 设数列 an 的前 n 项之积为 Tn 并满足 Tn 1 an n N 1 求 a1 a2 a3 2 证明 数列为等差数列 第 3 页 共 12 页 19 已知函数
6、 f x x3 3x2 9x 2 1 求函数 f x 的单调区间 2 若函数 f x 与直线 y m 有三个不同交点 求 m 的取值范围 20 设 A x1 y1 B x2 y2 O 是坐标原点 且 A B O 不共线 求证 设 a b c 均为正数 且 a b c 1 证明 21 已知函数 f x 在 x 2 处有极值 求函数 f x 的单调区间 若函数 f x 在区间 3 3 上有且仅有一个零点 求 b 的取值范围 22 已知函数 f x lnx ax2 2 a x 讨论 f x 函数的单调性 设 f x 的两个零点是 x1 x2 求证 第 4 页 共 12 页 答案和解析答案和解析 1
7、答案 D 解析 分析 本题考查了复数的运算和复数的代数形式及其几何意义 属基础题 化简 z 得其在复平面上对应点的坐标即可 解答 解 z 所以 z 在复平面上对应的点为 位于第四象限 故选 D 2 答案 A 解析 分析 本题考查的知识点是演绎推理的基本方法 演绎推理是一种必然性推理 演绎推理的前 提与结论之间有蕴涵关系 因而 只要前提是真实的 推理的形式是正确的 那么结论 必定是真实的 但错误的前提可能导致错误的结论 在使用三段论推理证明中 如果命题是错误的 则可能是 大前提 错误 也可能是 小前提 错误 也可能是推理形式错误 我们分析的其大前提的形式 对于可导函数 f x 如果 f x0 0
8、 那么 x x0是函数 f x 的极值点 不难得到结论 解答 解 大前提是 对于可导函数 f x 如果 f x0 0 那么 x x0是函数 f x 的 极值点 不是真命题 因为对于可导函数 f x 如果 f x0 0 且满足当 x x0附近的导函数值异号时 那 么 x x0是函数 f x 的极值点 大前提错误 故选 A 3 答案 B 解析 解 y x2 lnx 的定义域为 0 y 由 y 0 得 0 x 1 函数 y x2 lnx 的单调递减区间为 0 1 故选 B 由 y x2 lnx 得 y 由 y 0 即可求得函数 y x2 lnx 的单调递减区间 本题考查利用导数研究函数的单调性 注重
9、标根法的考查与应用 属于基础题 4 答案 C 第 5 页 共 12 页 解析 分析 利用定积分知识求解该区域面积是解决 本题的关键 要确定出曲线 y 直线 y x 2 的交点 确定出积分区间和被积函 数 利用导数和积分的关系完成本题的 求解 本题考查曲边图形面积的计算问题 考查 学生分析问题解决问题的能力和意识 考 查学生的转化与化归能力和运算能力 考 查学生对定积分与导数的联系的认识 求 定积分关键要找准被积函数的原函数 属于定积分的简单应用问题 解答 解 联立方程得到两曲线的交点 4 2 因此曲线 y 直线 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 S 故选 C 5 答案 C 解析 解
10、由题意 n k 时 左边为 k 1 k 2 k k n k 1 时 左边为 k 2 k 3 k 1 k 1 从而增加两项为 2k 1 2k 2 且减少一项为 k 1 故选 C 根据已知等式 分别考虑 n k n k 1 时的左边因式 比较增加与减少的项 从而得解 本题以等式为载体 考查数学归纳法 考查从 n k 变到 n k 1 时 左边变化的项 属于中档题 6 答案 C 解析 解 a b c d 中至少有一个负数 的否定为 a b c d 全都大于或等 于 0 由用反证法证明数学命题的方法可得 应假设 a b c d 全都大于或等于 0 故选 C 用反证法证明数学命题时 应先假设结论的否定成
11、立 本题主要考查用反证法证明数学命题 把要证的结论进行否定 得到要证的结论的反面 是解题的突破口 属于基础题 7 答案 C 解析 解 设四面体的内切球的球心为 O 则球心 O 到四个面的距离都是 r 根据三角形的面积的求解方法 分割法 将 O 与四顶点连起来 可得四面体的体积等 于以 O 为顶点 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和 故选 C 根据平面与空间之间的类比推理 由点类比点或直线 由直线类比直线或平面 由内切 圆类比内切球 由平面图形面积类比立体图形的体积 结合求三角形的面积的方法类比 求四面体的体积即可 第 6 页 共 12 页 类比推理是指依据两类数学对象的相似性 将已知的
12、一类数学对象的性质类比迁移到另 一类数学对象上去 一般步骤 找出两类事物之间的相似性或者一致性 用一类事 物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 或猜想 8 答案 C 解析 解 函数 f x ln 4x x2 的定义域 0 4 因为 y 4x x2 是开口向下 的二次函数 对称性为 x 2 函数在 0 2 是增函数 在 2 4 是减函数 所以 A B 不正确 C 正确 D 不正确 故选 C 求解函数的定义域 然后判断函数的单调性 函数的对称性 即可得到选项 本题考查复合函数的单调性以及函数的对称性 是基本知识的考查 基础题 9 答案 D 解析 分析 本题考查了函数的单调性 最值问题
13、 考查导数的应用 属于中档题 求出函数的导数 问题转化为 0 在 x 2 有解 转化为存在 x 2 使 得 a 而 g x 在 2 单调递增 求出 g x 的范围 从而求出 a 的范围即可 解答 解 根据题意得 2ax f x 在区间 2 内存在单调递增区间 在 2 内有解 即 2ax 0a 在 2 内有解 故存在 x 2 使得 a 令 g x 则 g x 在 2 单调递增 所以 g x 故 a 2 故选 D 10 答案 C 解析 解 设 f x 0 x 1 则 f x 当 0 x 1 时 cosx 0 x tanx 则此时 f x 0 即函数 f x 在 0 1 上为减函数 第 7 页 共
14、12 页 则 f f f 1 即 a b c 故选 C 根据条件构造函数 f x 0 x 1 求函数的导数 利用导数研究函数的单调 性 利用单调性进行比较即可 本题主要考查函数值的大小比较 根据条件构造函数 利用函数单调性和导数的关系是 解决本题的关键 11 答案 C 解析 解 因为函数 f x x R 上任一点 x0y0 的切线方程为 y y0 x0 2 x02 1 x x0 即函数在任一点 x0y0 的切线斜率为 k x0 2 x02 1 即知任一点的导数为 f x x 2 x2 1 由 f x x 2 x2 1 0 得 x 1 或 1 x 2 即函数 f x 的单调递减区间是 1 和 1
15、 2 故选 C 由切线方程 y y0 x0 2 x02 1 x x0 可知任一点的导数为 f x x 2 x2 1 然后由 f x 0 可求单调递减区间 本题的考点是利用导数研究函数的单调性 先由切线方程得到切线斜率 进而得到函数 的导数 然后解导数不等式 是解决本题的关键 12 答案 C 解析 解 f x 0 2 上 函数单调递减 2 上函数单调递增 x 2 是 f x 的极小值点 即 A 正确 y f x x lnx x y 0 函数在 0 上单调递减 x 0 y 函数 y f x x 有且只有 1 个零点 即 B 正确 f x kx 可得 k 令 g x 则 g x 令 h x 4 x
16、xlnx 则 h x lnx 0 1 上 函数单调递增 1 上函数单调递减 h x h 1 0 g x 0 g x 在 0 上函数单调递减 函数无最小值 不存在正实数 k 使得 f x kx 恒成立 即 C 不正确 对任意两个正实数 x1 x2 且 x2 x1 0 2 上 函数单调递减 2 上函数单调递增 若 f x1 f x2 则 x1 x2 4 正确 故选 C 第 8 页 共 12 页 对选项分别进行判断 即可得出结论 本题考查导数知识的运用 考查函数的单调性 考查学生分析解决问题的能力 属于中 档题 13 答案 解析 解 a dx 的几何意义为圆 x2 y2 1 y 0 的面积 其面积为 故答案为 由定积分的几何意义得 a dx 的几何意义为圆 x2 y2 1 y 0 的面积 其面 积为 得解 本题考查了定积分的几何意义 属简单题 14 答案 等边三角形 解析 解 由于三角形的三边 a b c 成等差数列 可得 2b a c 又成等比数列 可得 b2 ac 联立可得 a c 2 0 解得 a c 可得 a b c 则 ABC 是等边三角形 故答案为 等边三角形 由等差数列和等比数
