《2020年湖北省部分重点中学高二（下）期中数学试卷解析版（理科）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年湖北省部分重点中学高二（下）期中数学试卷解析版（理科）（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 14 页 期中数学试卷 理科 期中数学试卷 理科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 命题 x 0 ex ex 的否定是 A x 0 ex exB x 0 ex ex C x0 0 ex0 ex0D x0 0 ex0 ex0 2 已知函数 f x 在 x x0处可导 若 1 则 f x0 A 2B 1C D 0 3 关于 x 的不等式 x2 2ax a 0 的解集为 R 的一个必要不充分条件是 A 0 a 1B 0 a C 0 a 1D a 0 或 a 4 若双曲线的焦距为 则 C 的一个焦点到一条渐近线的距离为 A 2B 4C D
2、5 若函数 f x ax3 3x2 x 8 恰好有三个单调区间 则实数 a 的取值范围是 A 3 B 3 C 0 0 3 D 0 0 3 6 满足函数 f x ln mx 3 在 1 上单调递减的充分必要条件是 A 4 m 2B 3 m 0C 4 m 0D 3 m 1 7 抛物线 y2 4x 的焦点为 F 点 A 5 3 M 为抛物线上一点 且 M 不在直线 AF 上 则 MAF 周长的最小值为 A 10B 11C 12D 6 8 已知函数 则 f x 的极大值点为 A B 1C eD 2e 9 若椭圆的中心为原点 F 4 0 是椭圆的焦点 过 F 的直线 1 与椭圆交于 M N 两点 且 M
3、N 的中点为 P 2 1 则椭圆的离心率为 A B C D 10 如图 下列三图中的多边形均为正多边形 图 中 M N 是所在边上的中点 图 中 M N 为顶点 椭圆均以图中 F1 F2为焦点 且点 M N 都在椭圆上 图 中椭圆的离心率分别为 e1 e2 e3 则 A e1 e2 e3B e3 e2 e1C e1 e3 e2D e2 e1 e3 11 如果圆柱轴截面的周长为 1 则体积的最大值为 第 2 页 共 14 页 A B C D 12 已知 f x 是函数 f x 的导函数 f 1 e x R 2f x f x 0 则 不等式 f x e2x 1的解集为 A 1 B 1 C e D
4、e 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 抛物线 y 4x2的焦点坐标是 14 函数 y 的图象在 x 1 处的切线方程是 15 dx 16 下列四个结论中正确的个数是 1 f x 为 f x 的导函数 若 f x0 0 则 x0为函数 f x 的极值点 2 过函数 f x x3图象上任一点只能作出一条切线 3 等轴双曲线的离心率都是 4 已知抛物线 C y2 2px p 0 过定点 M a 0 的直线与抛物线 C 交于 A B 两点 O 为坐标原点 则 为定值 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 0 分 17 已知 ABC 的两个顶点 A B 的坐标分别是 3 0 3
5、 0 且 AC BC 所在 直线的斜率之积等于 k k 0 试探究顶点 C 的轨迹 18 设 p 1 q x2 2a 1 x a a 1 0 若 q 是 p 的必要不充分条件 求实数 a 的取值范围 19 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD AB DC DA AB AB AP 2 DA DC 1 E 为 PC 上一点 且 PE PC 求 PE 的长 求证 AE 平面 PBC 求二面角 B AE D 的度数 第 3 页 共 14 页 20 已知函数 f x 1 求函数 f x 的单调区间 2 若关于 x 的方程 f x m 有三个实根 求实数 m 的取值范围 21 设抛物线 C
6、 y2 2x 点 A a 0 B a 0 a 为正常数 过点 A 的直线 1 与 C 交于 M N 两点 1 求 BMN 面积的最小值 2 证明 ABM ABN 22 1 已知关于 x 的不等式 ex ax 恒成立 求实数 a 的取值范围 2 已知 x 0 证明不等式 ex 第 4 页 共 14 页 第 5 页 共 14 页 答案和解析答案和解析 1 答案 D 解析 解 命题是全称命题 则命题的否定是 x0 0 exo ex0 故选 D 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 本题主要考查含有量词的命题的否定 根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关 键 比较基础 2 答案 C 解析 分析
7、 本题考查导数的定义 涉及极限的性质 属于基础题 根据题意 由极限的性质分析可得 2 由导数 的定义分析可得答案 解答 解 根据题意 若 2 2f x0 1 则 f x0 故选 C 3 答案 C 解析 解 关于 x 的不等式 x2 2ax a 0 的解集为 R 则 4a2 4a 0 解得 0 a 1 所以 关于 x 的不等式 x2 2ax a 0 的解集为 R 的一个必要不充分条件是 0 a 1 故选 C 利用判别式得出 a 的取值范围 再根据必要不充分条件得出命题是否正确 本题主要考查充分条件和必要条件的判断 一元二次不等式恒成立问题 用集合的观点 理解充分必要条件的定义是解决本题的关键 4
8、 答案 B 解析 解 双曲线的焦距为 可得 4 m2 4 5 解得 m 4 双曲线的一个焦点到一条渐近线 y 2x 的距离等于 4 故选 B 由题设知 b 利用点到直线的距离 即可求出结果 本题考查双曲线的性质和应用 解题时要认真审题 仔细求解 5 答案 D 解析 解 函数 f x ax3 3x2 x 8 f x 3ax2 6x 1 由函数 f x 恰好有三个单调区间 得 f x 有两个不相等的零点 3ax2 6x 1 0 满足 a 0 且 36 12a 0 解得 a 3 a 0 0 3 第 6 页 共 14 页 故选 D 求出函数的导函数 利用导数有两个不同的零点 说明函数恰好有三个单调区间
9、 从而 求出 a 的取值范围 本题考查导数在研究函数单调性的应用 运用了方程思想 属于基础题 6 答案 B 解析 解 若 f x ln mx 3 在 1 上单调递减 则满足 m 0 且 m 3 0 即 m 0 且 m 3 则 3 m 0 即 f x 在 1 上单调递减的一个充分必要条件是 3 m 0 故选 B 根据复合函数的单调性 求出 m 的取值范围即可 本题主要考查复合函数单调性的判断 不忽视函数的定义域是解决本题的关键 属于基 础题 7 答案 B 解析 解 求 MAF 周长的最小值 即求 MA MF 的最小值 设点 M 在准线上的射影为 D 根据抛物线的定义 可知 MF MD 因此 MA
10、 MF 的最小值 即 MA MD 的最小值 根据平面几何知识 可得当 D M A 三点共线时 MA MD 最小 因此最小值为 xA 1 5 1 6 AF 5 MAF 周长的最小值为 11 故选 B 求 MAF 周长的最小值 即求 MA MF 的最小值 设点 M 在准线上的射影为 D 则根 据抛物线的定义 可知 MF MD 因此问题转化为求 MA MD 的最小值 根据平面几 何知识 当 D M A 三点共线时 MA MD 最小 由此即可求出 MA MF 的最小值 考查椭圆的定义 标准方程 以及简单性质的应用 判断当 D M A 三点共线时 MA MD 最小 是解题的关键 8 答案 D 解析 分析
11、 本题考查了函数的单调性 极值问题 考查导数的应用 求出 f e 的值是解题的关 键 求出 f e 的值 求出函数 f x 的解析式 解关于导函数的不等式 求出函数的单 调区间 从而求出函数的极大值点即可 解答 解 f x 令 x e 可得 f e f x 2lnx 令 f x 0 解得 0 x 2e 令 f x 0 解得 x 2e 第 7 页 共 14 页 故 f x 在 0 2e 递增 在 2e 递减 x 2e 时 f x 取得极大值 2ln2 则 f x 的极大值点为 2e 故选 D 9 答案 C 解析 解 根据题意 F 4 0 是椭圆的焦点 则椭圆的焦点在 x 轴上 设椭圆的方程为 且
12、 M x1 y1 N x2 y2 直线 MN 过焦点 F 则 KMN 则有 变形可得 y1 y2 x1 x2 又由 y1 y2 x1 x2 且 x1 x2 4 y1 y2 2 变形可得 4b2 a2 又由 c 4 则 a2 b2 16 解可得 a2 b2 e 故选 C 根据题意 设椭圆的方程为 且 M x1 y1 N x2 y2 分析可得直线 MN 的斜率 则有 变形可得 y1 y2 x1 x2 点 M N 在直线上 利用平方差法 转化求解即可 本题考查直线与椭圆的位置关系 涉及椭圆的几何性质 属于综合题 10 答案 D 解析 解 不妨均以 F1F2所在直线为 x 轴 设焦点为 1 0 则 等
13、边三角形的边长为 2 且过点 N 到两个焦点 1 0 1 0 的距离分别是 和 1 a c 1 e1 正方形的边长为 则双曲线的焦点坐标为 1 0 和 1 0 且过点 到两个焦点 1 0 1 0 的距离分别是 和 a c 1 e2 第 8 页 共 14 页 正六边形的边长为 1 且过点 点 到两个焦点 1 0 和 1 0 的距离分别为和 1 a c 2 e3 因为 故 e2 e1 e3 故选 D 根据条件 用特殊值法 建立直角坐标系 得到正多边形的边长 逐一对应图形求出几 何量 a c 即可得到离心率 本题考查椭圆的几何性质 考查学生的计算能力 属于中档题 11 答案 A 解析 解 设圆柱的底
14、面半径为 r 高为 h 体积为 V 则 4r 2h 1 h V r2h 0 r 则 V r 6 r2 令 V 0 得 r 0 或 r 由 r 0 得 r 是唯一极值点 当 r 时 V 取得最大值为 3 故选 A 设圆柱底面半径为 r 高为 h 可得 4r 2h 1 可得 h 圆柱体积 V r2h 0 r 再利用导数即可求出结果 本题考查圆柱的体积的最大值的求法 考查圆柱的轴面的性质 圆柱的体积公式等基础 知识 考查运算求解能力 是中档题 12 答案 B 解析 分析 所解不等式等价变形为 构造函数 g x 求导可得其 单调性 可解 此题考查了构造函数法 利用导数研究函数的单调性等 难度较大 解答
15、 解 令 g x 则 g x 2f x f x 0 g x 0 g x 递减 不等式 f x e2x 1 第 9 页 共 14 页 g x g 1 x 1 故选 B 13 答案 解析 解 由题意可知 p 焦点坐标为 故答案为 先化简为标准方程 进而可得到 p 的值 即可确定答案 本题主要考查抛物线的性质 属基础题 14 答案 x y 1 0 解析 解 函数 y 的导数为 y 可得图象在 x 1 处的切线斜率为 k 1 切点为 1 0 则图象在 x 1 处的切线方程为 y x 1 即 x y 1 0 故答案为 x y 1 0 求得函数 y 的导数 可得切线的斜率和切点 由点斜式方程可得切线方程
16、本题考查导数的运用 求切线方程 考查直线方程的运用 属于基础题 15 答案 解析 解 dx 其中表示的是以为半径的圆的面积的 为 所以dx 故答案为 dx 其中利 用定积分的几何意义 表示的是以为半径的圆的面积的 后者结合牛顿 莱布尼茨公 式进行计算即可 本题考查定积分的计算 解题的关键点是理解定积分的几何意义 考查学生的运算能力 属于基础题 16 答案 2 3 4 解析 解 对于 1 不妨取 f x x3 那么 f 0 0 但 x0 0 却不是 f x 的极值点 故 f x 的导函数为 f x 若 f x0 0 则 x0是函数 f x 的极值 第 10 页 共 14 页 点是假命题 故 1 错误 对于 2 若点在曲线上 过点的切线只有一个 所以过函数 f x x3图象上任一点 可作一条且只能作一条切线 故 2 正确 对于 3 等轴双曲线是指实轴和虚轴长度相等 即 2a 2b a b 所以 c2 a2 b2 从 而 c2 2a2 所以离心率 故 3 正确 对于 4 不妨设点 A x1 y1 点 B x2 y2 直线斜率为 k 则 过点 M 的直线为 y k x a 联立抛物线方程和直线
