《2020年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷解析版（理科）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷解析版（理科）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 13 页 期中数学试卷 理科 期中数学试卷 理科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 设复数 z 满足 则 z A 1B C 3D 2 若曲线 y x4的一条切线 l 与直线 x 4y 8 0 垂直 则 l 的方程是 A 4x y 3 0B x 4y 5 0C 4x y 3 0D x 4y 3 0 3 如图 阴影部分的面积为 A 2 B 2 C D 4 已知 f x ex 2xf 1 则 f 0 等于 A 1 2eB 1 2eC 2eD 2e 5 如图是谢宾斯基 Sierpinsiki 三角形 在所给的四个三角形图案中 着色的小三 角
2、形个数构成数列 an 的前 4 项 则 an 的通项公式可以是 A an 3n 1B an 2n 1C an 3nD an 2n 1 6 已知函数 f x 与其导函数 f x 的图象如图 则满足 f x f x 的 x 的取值 范围为 A 0 4 B 0 1 4 C D 0 1 4 第 2 页 共 13 页 7 用数学归纳法证明不等式 n 2 时的过程中 由 n k 到 n k 1 时 不等式的左边 A 增加了一项 B 增加了两项 C 增加了两项 又减少了一项 D 增加了一项 又减少了一项 8 曲线在点处的切线的斜率为 2 则的最 小值是 A 10B 9C 8D 9 已知函数 g x a x2
3、 x e e 为自然对数的底数 与 h x 2lnx 的图象上存在 关于 x 轴对称的点 则实数 a 的取值范围是 A 1 2 B 1 e2 2 C 2 e2 2 D e2 2 10 如图是美丽的 勾股树 它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而 得到 图一是第 1 代 勾股树 重复图一的作法 得到图二为第 2 代 勾股树 以此类推 已知最大的正方形面积为 1 则第 n 代 勾股树 所有正方形的面积 的和为 A nB n2 1C n 1D n 2 11 已知奇函数 f x 是定义在 R 上的连续可导函数 其导函数是 f x 当 x 0 时 f x 2f x 恒成立 则下列不等关系一定正
4、确的是 A e2f 1 f 2 B e2f 1 f 2 C f 2 e2f 1 D f 2 e2f 1 12 已知定义城为 R 的函数 f x 的图象连续不断 且 x R f x f x 4x2 当 x 0 时 f x 4x f x 为 f x 的导函数 设 g x f x 2x2 若 g 2m 1 g m 则实数 m 的取值范围为 A B 1 C D 1 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 第 3 页 共 13 页 13 已知 x y R i 为虚数单位 则 x y 14 计算 15 设 Sn是公差为 d 的等差数列 an 的前 n 项和 则数列 S6 S3 S9 S6 S12
5、 S9是等差数 列 且其公差为 9d 通过类比推理 可以得到结论 设 Tn是公比为 2 的等比数列 bn 的前 n 项积 则数列 是等比数列 且其公比的值是 16 设函数 f x ax3 bx2 cx d a 0 满足 f 1 f 3 2f 2 现给出如下结论 若 f x 是 0 1 上的增函数 则 f x 是 3 4 的增函数 若 a f 1 a f 3 则 f x 有极值 对任意实数 x0 直线 y c 12a x x0 f x0 与曲线 y f x 有唯一公共点 其中正确的结论是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 0 分 17 已知 x 0 y 0 且 xy 1 求 的最小值及相
6、应的 x y 的值 18 已知函数 f x x3 mx2 nx 2 的图象过点 1 6 且函数 g x f x 6x 的图象关于 y 轴对称 1 求 m n 的值及函数 y f x 的单调区间 2 求函数 y f x 在区间 0 a 内的极值 19 用数学归纳法证明 20 2016 年双十一期间 某电子产品销售商促销某种电子产品 该产品的成本为 2 元 件 通过市场分析 双十一期间该电子产品销售量 y 单位 千件 与销售价格 x 单位 元 之间满足关系式 y 2x2 35x 170 其中 2 x 8 a 为常数 且 第 4 页 共 13 页 已知当销售价格为 3 元 件时 该电子产品销售量为
7、89 千件 求实数 a 的值及双十一期间销售该电子产品获得的总利润 L x 销售价格 x 为多少时 所获得的总利润 L x 最大 并求出总利润 L x 的最大值 21 已知函数 f x x2 2x 2alnx 若函数 f x 在定义域上有两个极值点 x1 x2 且 x1 x2 1 求实数 a 的取值范围 2 证明 22 已知函数 f x t 1 x lnx 1 讨论函数 f x 的单调性 2 若 x 1 e 不等式 f x 3x 恒成立 求实数 t 的取值范围 第 5 页 共 13 页 答案和解析答案和解析 1 答案 D 解析 分析 本题考查了复数的运算性质 模的计算公式 考查了推理能力与计算
8、能力 属于基础题 利用复数的运算性质 模的计算公式即可得出 解答 解 复数 z 满足 z i 2i 1 可得 z 3i 1 则 z 故选 D 2 答案 A 解析 解 设与直线 x 4y 8 0 垂直的直线 l 为 4x y m 0 即曲线 y x4在某一点处的导数为 4 而 y 4x3 y x4在 1 1 处导数为 4 将 1 1 代入 4x y m 0 得 m 3 故 l 的方程为 4x y 3 0 故选 A 欲求 l 的方程 根据已知条件中 切线 l 与直线 x 4y 8 0 垂直 可得出切线的斜率 故只须求出切点的坐标即可 故先利用导数求出在切点处的导函数值 再结合导数的几 何意义即可求
9、出切点坐标 从而问题解决 本小题主要考查直线的斜率 导数的几何意义 利用导数研究曲线上某点切线方程等基 础知识 考查运算求解能力 属于基础题 3 答案 C 解析 分析 本题考查定积分求面积 考查导数知识的运用 考查学生的计算能力 属于基础题 确定积分区间与被积函数 求出原函数 即可求得定积分 解答 解 由题意阴影部分的面积等于 3x x3 x2 3 1 9 9 9 故选 C 4 答案 B 解析 分析 本题考查了导数运算 理解原函数解析式中的 f 1 只是一个常数是关键 是基础题 把给出的函数求导得其导函数 在导函数解析式中取 x 1 可求 f 1 的值 继而求出 f 0 的值 解答 解 由 f
10、 x ex 2xf 1 得 f x ex 2f 1 第 6 页 共 13 页 取 x 1 得 f 1 e 2f 1 所以 f 1 e 故 f 0 1 2f 1 1 2e 故选 B 5 答案 A 解析 解 着色的小三角形个数构成数列 an 的前 4 项 分别为 a1 1 a2 3 a3 3 3 32 a4 32 3 因此 an 的通项公式可以是 an 3n 1 故选 A 着色的小三角形个数构成数列 an 的前 4 项 分别得出 即可得出 an 的通项公式 本题考查了等比数列的通项公式 考查了观察分析猜想归纳推理能力与计算能力 属于 中档题 6 答案 D 解析 分析 本题函数的单调性与导函数的关系
11、 是基础题 利用导函数的图象以及原函数的图象的关系 判断推出结果即可 解答 解 如图 记两个函数分别为 g x 和 h x 若 g x 为导函数 则 h x 应在单调递减 明显与图像不符 所以 f x g x f x h x 由图像可知 则满足 f x f x 的 x 的取值范围为 0 1 4 故选 D 7 答案 C 解析 解 故选 C 本题考查的知识点是数学归纳法 观察不等式 n 2 左边的各 项 他们都是以开始 以 项结束 共 n 项 当由 n k 到 n k 1 时 项数也由 k 变 到 k 1 时 但前边少了一项 后面多了两项 分析四个答案 即可求出结论 数学归纳法常常用来证明一个与自
12、然数集 N 相关的性质 其步骤为 设 P n 是关于 自然数 n 的命题 若 1 奠基 P n 在 n 1 时成立 2 归纳 在 P k k 为 第 7 页 共 13 页 任意自然数 成立的假设下可以推出 P k 1 成立 则 P n 对一切自然数 n 都成立 8 答案 B 解析 分析 本题考查导数的运用 求切线的斜率 考查基本不等式的运用 求最值 注意运用 1 的代换 以及满足的条件 一正二定三等 考查运算能力 属于中档题 求出 f x 的导数 可得切线的斜率 即有 2a b 2 则 2a b 8 2 运用基本不等式即可得到所求最小值 解答 解 f x 2alnx bx a 0 b 0 的导
13、数为 f x b 可得在点 1 f 1 处的切线的斜率为 2a b 即有 2a b 2 则 2a b 8 2 10 2 10 8 9 当且仅当 b 4a 时 取得最小值 9 故选 B 9 答案 B 解析 解 由已知 得到方程 a x2 2lnx a 2lnx x2在上有解 设 f x 2lnx x2 求导得 f x 2x x e f x 0 在 x 1 有唯一的极值点 f 2 f e 2 e2 f x 极大值 f 1 1 且知 f e f 故方程 a 2lnx x2在上有解等价于 2 e2 a 1 从而 a 的取值范围为 1 e2 2 故选 B 由已知 得到方程 a x2 2lnx a 2ln
14、x x2在上有解 构造函数 f x 2lnx x2 求 出它的值域 得到 a 的范围即可 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围 关键是将已知转化为方程 a x2 2lnx a 2lnx x2在上有解 10 答案 C 解析 解 第 1 代 勾股树 中 正方形的个数 3 21 1 1 3 个 如图一 设直角三角形的三条边长分别为 a b c 第 8 页 共 13 页 根据勾股定理得 a2 b2 c2 所有正方形的面积之和为 2 1 1 1 第 2 代 勾股树 中 正方形的个数 7 22 1 1 如图二 所有的正方形的面积之和为 3 2 1 1 以此类推 第 n 代 勾股树 所有正方形的个数为
15、2n 1 1 第 n 代 勾股树 所有正方形的面积的和为 n 1 1 n 1 故选 C 第 1 代 勾股树 中 正方形的个数 3 所有正方形的面积之和为 2 1 1 1 第 2 代 勾股树 中 正方形的个数 7 所有的正方形的面积之和为 3 2 1 1 以此类 推 第 n 代 勾股树 所有正方形的个数为 2n 1 1 第 n 代 勾股树 所有正方形的面 积的和为 n 1 本题考查正方形的性质及勾股定理的应用 考查归纳推理等基础知识 考查运算求解能 力 推理论证能力 归纳总结能力 是中档题 11 答案 C 解析 解 解 设 g x g x 0 恒成立 g x 在 0 上单调递减 g 1 g 2
16、e2f 1 f 2 C 正确 又 f x f x 即 e2f 1 f 2 f 2 排除 A B D 故选 C 设 g x 求导 可判断其的单调性 再结合函数的奇偶性即可得到答案 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性 体现了转化思想及运算求解能力 数中档 题 12 答案 A 解析 解 依题意 f x f x 4x2 故 g x 2x2 g x 2 x 2 4x2 故 g x g x 0 可知 函数 g x 为奇函数 因为当 x 0 时 f x 4x 即当 x 0 时 f x 2x2 0 故函数 g x 在 0 上单调递减 由奇偶性可知 函数 g x 在 R 上单调递减 因为 g 2m 1 g m 故 2m 1 m 故 故实数 m 的取值范围为 故选 A 由题意分别确定函数 g x 的奇偶性和函数的单调性 然后脱去函数符号 g 求解实数 m 的取值范围即可 本题主要考查导函数研究函数的单调性 函数的奇偶性及其应用等知识 意在考查学生 的转化能力和计算求解能力 第 9 页 共 13 页 13 答案 2 解析 分析 本题考查了复数的运算法则 复数相等 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 利
