子空间的交与和ppt课件

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1、 第六章线性空间 2线性空间的定义与简单性质 3维数 基与坐标 4基变换与坐标变换 1集合 映射 5线性子空间 7子空间的直和 8线性空间的同构 6子空间的交与和 主要内容 子空间的交 第六节子空间的交与和 子空间的和 子空间的交与和的性质 例题 子空间的交与和的维数 一 子空间的交 1 定义 定义1设V1 V2是线性空间V的两个子空 间 称 V1 V2 V1且 V2 为V1 V2的交 2 性质 定理1如果V1 V2是线性空间V的两个子空 间 那么它们的交V1 V2也是V的子空间 证明 首先 由0 V1 0 V2 可知0 V1 V2 因而V1 V2是非空的 其次 如果 V1 V2 即 V1 而

2、且 V2 V1 V2 对数量乘积可以同样地证明 所以V1 V2是V的 子空间 证毕 那么 因此 V1 V2 3 子空间的交的运算规律 1 交换律V1 V2 V2 V1 2 结合律 V1 V2 V3 V1 V2 V3 为线性空间V的子空间 则集合 也为V的子空间 称为的交空间 二 子空间的和 1 定义 定义2设V1 V2是线性空间V的两个子空 间 所谓V1与V2的和 是指由所有能表示成 1 2 而 1 V1 2 V2的向量组成的子集合 记 作V1 V2 即 V1 V2 1 2 1 V1 2 V2 2 性质 定理2如果V1 V2是线性空间V的两个子空 间 那么它们的和V1 V2也是V的子空间 证明

3、 首先 V1 V2显然是非空的 其次 如果 V1 V2 即 1 2 1 V1 2 V2 1 2 1 V1 2 V2 那么 1 1 2 2 又因为V1 V2是子空间 故有 1 1 V1 2 2 V2 因此 V1 V2 同样 k k 1 k 2 V1 V2 所以 V1 V2是V的子空间 证毕 3 子空间的和的运算规律 1 交换律V1 V2 V2 V1 2 结合律 V1 V2 V3 V1 V2 V3 为线性空间V的子空间 则集合 也为V的子空间 称为的和空间 1 V的两子空间的并集 注意 有 证明 2 V的两子空间的并集未必为V的子空间 皆为R3的子空间 但是它们的并集 并不是R3的子空间 因为它对

4、R3的运算不封闭 如 但是 例如 三 子空间的交与和的性质 性质1设V1 V2 W都是子空间 那么由 W V1与W V2可推出W V1 V2 而由 W V1与W V2可推出W V1 V2 性质2对于子空间V1 V2 以下三个论断是 等价的 1 V1 V2 2 V1 V2 V1 3 V1 V2 V2 性质3设V1 V2 W都是子空间 W V1 W V2 若 W V1 W V2 V1 V2 则 V1 V2 四 例题 例1设V1 L 1 2 V2 L 1 3 是R3 两个不同的2维子空间 求V1 V2和V1 V2 并指它们的几何意义 解 因为V1和V2是两个不同的子空间 所以 1 2 3线性无关 从

5、而V1 V2与题设矛盾 于是由子空间的交与和 的定义可得 V1 V2 L 1 V1 V2 L 1 2 3 R3 否则 3可由 1 2线性表示 其几何意义是 V1 L 1 2 是向量 1 2所 确定的平面 的平面 是整个3维空间 如图6 6所示 V2 L 1 3 是向量 1 3所确定 V1 V2是这两个平面的交线 V1 V2 例2设V1 V2分别是R3过原点的直线和平 面 直线不在平面上 上的全体向量构成的子空间 求V1 V2和V1 V2 并指它们的几何意义 解 由定义容易求得 V1 V2 0 V1 V2 L 1 2 3 R3 其几何意义如图6 7所示 例3设V1 V2分别是P3中齐次方程组 的

6、解空间 那么V1 V2就是齐次方程组 的解空间 1 L 1 2 s L 1 2 t L 1 s 1 t 五 子空间的交与和的维数 维数公式 2 L 1 2 s L 1 2 t 其中是与中的公共元素 定理3 为线性空间V中 两组向量 则 例4 在中 设 1 求的维数的与一组基 2 求的维数的与一组基 解 1 任取 设 则有 为一维的 2 对以为列向量的矩阵A作初等行变换 为3维的 由B知 为的一个极大无关组 为其一组基 关于子空间的交与和的维数 有以下定理 定理4 维数公式 如果V1 V2是线性空 间V的两个子空间 那么 维 V1 维 V2 维 V1 V2 维 V1 V2 证明 设V1 V2的维

7、数分别是s t V1 V2 的维数是m 取V1 V2的一组基 1 2 m 如果m 0 这个基是空集 下面的讨论中 1 2 m不出现 但讨论同样能进行 由 它可以扩充成V1的一组基 1 2 m 1 s m 也可以扩充成V2的一组基 1 2 m 1 t m 我们来证明 向量组 1 2 m 1 s m 1 t m 是V1 V2的一组基 这样 V1 V2的维数就等于 s t m 因而维数公式成立 因为 V1 L 1 2 m 1 s m V2 L 1 2 m 1 t m 所以 V1 V2 L 1 m 1 s m 1 t m 现在来证明向量组 1 2 m 1 s m 1 t m 是线性无关的 假设有等式

8、k1 1 k2 2 km m p1 1 p2 2 ps m s m q1 1 q2 2 qt m t m 0 令 k1 1 km m p1 1 ps m s m q1 1 q2 2 qt m t m k1 1 km m p1 1 ps m s m 由 q1 1 q2 2 qt m t m 由 可知 V1 可知 V2 于是 V1 V2 即 可以被 1 2 m线性表示 令 l1 1 lm m 则 l1 1 lm m q1 1 qt m t m 0 由于 1 m 1 t m线性无关 所以 l1 lm q1 qt m 0 因而 0 从而有 k1 1 km m p1 1 ps m s m 0 由于 1

9、m 1 s m线性无关 又得 k1 km p1 ps m 0 这就证明了 1 2 m 1 s m 1 t m 线性无关 式成立 证毕 因而它是V1 V2的一组基 故维数公 注意 从维数公式可知 为Vn P 的两个子空间 子空间的和的维数往往比子空间的维数的和要小 例如 在R3中 设子空间 其中 但 则 由此还可得到 是一直线 从维数公式可以看到 和的维数往往要比维数 的和来得小 例如 在三维几何空间中 两张通 过原点的不同的平面之和是整个三维空间 而其 维数之和却等于4 由此说明这两张平面的交是 一维的直线 推论如果n维线性空间V中两个子空间V1 V2的维数之和大于n 那么V1 V2必含有非零

10、的公 共向量 证明 由假设 维 V1 V2 维 V1 V2 维 V1 维 V2 n 但因V1 V2是V的子空间而有 维 V1 V2 n 所以 维 V1 V2 0 这就是说 V1 V2中含有非零向量 证毕 小结 1 子空间的交 2 子空间的和 3 子空间的交与和的性质 4 子空间的交与和的维数 1 在中 令 求及 易知 皆为的子空间 练习 解 任取 由有 由有 故 从而 再求 因为 所以 2 设V P4 V1 L 1 2 3 V2 L 1 2 其中 求V1 V2 V1 V2 V1 V2的维数与基 解 因为 V1 V2 L 1 2 3 L 1 2 L 1 2 3 1 2 所以向量组 1 2 3 1

11、 2的一个极大无关组就 是V1 V2的一组基 把向量组 1 2 3 1 2 中的每个向量作为矩阵的一列 构造矩阵A 对A 进行初等行变换 化成行最简形 行变换 由A的行最简形矩阵 1 2 1线性无关 且 2 1 3 2 4 1 于是 1 2 1是V1 V2的一组基 维 V1 V2 3 1 2是V1的一组基 维 V1 2 1 2是V2的 一组基 维 V2 2 由 2 1 3 2 4 1得 1 3 2 4 1 2 4 5 7 6 V1 V2 因为 维 V1 V2 维 V1 维 V2 维 V1 V2 2 2 3 1 于是 4 5 7 6 是V1 V2的一组基 设向量组 1 2 3 1 2中每个向量表示3维空间中的一 个平面 则V1 V2分别表示如图6 8中所示的直线 V1 V2为整个空间 V1 V2为两直线所确定的平面 x o y z 1 2 3 1 2 V1 L 1 2 3 V2 L 1 2 图6 8 与 的解空间 则就是齐次线性方程组 在中 用分别表示齐次线性方程组 思考题 的解空间 证 设方程组 分别为 即 设W为 的解空间 任取 有 从而 反之 任取 则有 从而 故 作业 P27018 3