《1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案（理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案（理）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 19911991年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学 理工农医类理工农医类 考生注意 考生注意 这份试卷共三道大题 26个小题 满分120分 奎屯 王新敞 新疆 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共15小题 每小题小题 每小题3分 共分 共45分 在每小题给出的四个选项中分 在每小题给出的四个选项中 只有一只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 把所选项前的字母填在题后括号内把所选项前的字母填在题后括号内 1 已知sin 5 4 并且 是第二象限的角 那么tg 的值等于 A 3 4 B 4 3 C 4 3 D 3 4 2 焦点在 1 0 顶点在 1
2、0 的抛物线方程是 A y2 8 x 1 B y2 8 x 1 C y2 8 x 1 D y2 8 x 1 3 函数y cos4x sin4x的最小正周期是 A 2 B C 2 D 4 4 如果把两条异面直线看成 一对 那么六棱锥的棱所在的12条直线中 异面直线共 有 A 12 对 B 24 对 C 36 对 D 48 对 5 函数y sin 2x 2 5 的图像的一条对称轴的方程是 A x 2 B x 4 C 8 x D 4 5 x 6 如果三棱锥S ABC的底面是不等边三角形 侧面与底面所成的二面角都相等 且 顶点S在底面的射影O在 ABC内 那么O是 ABC的 A 垂心 B 重心 C 外
3、心 D 内心 7 已知 an 是等比数列 且an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 25 那么a3 a5的值等于 A 5 B 10 C 15 D 20 8 如果圆锥曲线的极坐标方程为 cos35 16 那么它的焦点的极坐标为 A 0 0 6 B 3 0 3 0 C 0 0 3 0 D 0 0 6 0 9 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台 其中至少要有甲型与乙型电视机各1 台 则不同的取法共有 A 140 种 B 84 种 C 70 种 D 35 种 10 如果AC 0且BC 0 那么直线Ax By C 0不通过 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 11 设甲 乙
4、丙是三个命题 如果甲是乙的必要条件 丙是乙的充分条件但不是乙 的必要条件 那么 A 丙是甲的充分条件 但不是甲的必要条件 B 丙是甲的必要条件 但不是甲的充分条件 C 丙是甲的充要条件 D 丙不是甲的充分条件 也不是甲的必要条件 12 5 1 1 4 1 1 3 1 1 lim n n 1 2 1 n 的值等于 A 0 B 1 C 2 D 3 13 如果奇函数f x 在区间 3 7 上是增函数且最小值为5 那么f x 在区间 7 3 上是 A 增函数且最小值为 5 B 增函数且最大值为 5 C 减函数且最小值为 5 D 减函数且最大值为 5 14 圆x2 2x y2 4y 3 0上到直线x y
5、 1 0的距离为2的点共有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 15 设全集为R f x sinx g x cosx M x f x 0 N x g x 0 那么集合 x f x g x 0 等于 A NM B NM C NM D NM 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共5小题 每小题小题 每小题3分 共分 共15分 把答案填在题中横线上分 把答案填在题中横线上 16 arctg 3 1 arctg 2 1 的值是 奎屯 王新敞 新疆 17 不等式 2 2 6 xx 1 那 么a 奎屯 王新敞 新疆 20 在球面上有四个点P A B C 如果PA PB PC两两互相垂直 且PA
6、 PB PC a 那么这个球面的面积是 奎屯 王新敞 新疆 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共6小题 共小题 共60分 分 21 本小题满分8分 求函数y sin2x 2sinxcosx 3cos2x的最小值 并写出使函数y取最小值的x的集合 22 本小题满分8分 已知复数z 1 i 求复数 1 63 2 z zz 的模和辐角的主值 23 本小题满分10分 已知ABCD是边长为4的正方形 E F分别是AB AD的中点 GC垂 直于ABCD所在的平面 且GC 2 求点B到平面EFG的距离 24 本小题满分10分 根据函数单调性的定义 证明函数f x x3 1在 上是减函数 25 本小题满分
7、12分 已知n为自然数 实数a 1 解关于x的不等式 logax log 2 a x 12log 3 a x n n 2 1 n log n a x 3 2 1 n loga x2 a 26 本小题满分12分 双曲线的中心在坐标原点 O 焦点在 x 轴上 过双曲线右焦点且斜率为 5 3 的直线交双 曲线于 P Q 两点 若 OP OQ PQ 4 求双曲线的方程 19911991 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题数学试题 理工农医类理工农医类 参考解答及评分标准参考解答及评分标准 说明 说明 一 本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力 并给出了一种或几种较
8、为常见的 解法 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应 评分细则 二 每题都要评阅到底 不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅 当考 生的解答在某一步出现错误 影响了后继部分时 如果该步以后的解答未改变这一题的内 容和难度时 可视影响的程度决定后面部分的给分 但不得超过后面部分应给分数的一半 如果这一步以后的解答有较严重的错误 就不给分 三 为了阅卷方便 本试题解答中的推导步骤写得较为详细 允许考生在解题过程中 合理省略非关键性的推导步骤 四 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 五 只给整数分数 一 选择题 本题考查基本知识和基本运
9、算 每小题一 选择题 本题考查基本知识和基本运算 每小题 3 分 满分分 满分 45 分 分 1 A 2 D 3 B 4 B 5 A 6 D 7 A 8 D 9 C 10 C 11 A 12 C 13 B 14 C 15 D 二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 每小题二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 每小题 3 分 满分分 满分 15 分 分 16 4 17 x 2 x 1 18 3 14 19 1 5 10 20 3 a2 三 解答题三 解答题 21 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质 满分8分 解 y sin2x 2sinxcosx 3cos2x sin2x cos2
10、x 2sinxcosx 2cos2x 1分 1sin2x 1 cos2x 3分 2 sin2x cos2x 2 2sin 2x 4 5分 当sin 2x 4 1时y取得最小值2 2 6分 使y取最小值的x的集合为 x x k 8 3 k Z 8分 22 本小题考查复数基本概念和运算能力 满分8分 解 1 63 2 z zz 11 6 1 3 1 2 i ii i i 2 3 2分 1 i 4分 1 i的模r 22 1 1 2 因为1 i对应的点在第四象限且辐角的正切tg 1 所以辐角的主值 4 7 8分 23 本小题考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 以及逻辑推理 和空间想象能力
11、 满分10分 解 如图 连结EG FG EF BD AC EF BD分别交AC于H O 因为ABCD是 正方形 E F分别为AB和AD的中点 故EF BD H为AO的中点 BD不在平面EFG上 否则 平面EFG和平面ABCD重合 从而点G在平面的ABCD上 与题设矛盾 由直线和平面平行的判定定理知BD 平面EFG 所以BD和平面EFG的距离就是点B 到平面EFG的距离 4分 BD AC EF HC GC 平面ABCD EF GC EF 平面HCG 平面EFG 平面HCG HG是这两个垂直平面的交线 6分 作OK HG交HG于点K 由两平面垂直的性质定理知OK 平面EFG 所以线段OK的 长就是
12、点B到平面EFG的距离 8分 正方形ABCD的边长为4 GC 2 AC 42 HO 2 HC 32 在Rt HCG中 HG 22223 2 2 由于Rt HKO和Rt HCG有一个锐角是公共的 故Rt HKO HCG OK 11 112 22 22 HG GCHO 即点B到平面EFG的距离为 11 112 10分 注 未证明 BD不在平面EFG上 不扣分 24 本小题考查函数单调性的概念 不等式的证明 以及逻辑推理能力 满分10分 证法一 在 上任取x1 x2且x1 x2 1分 则f x2 f x1 3 2 3 1 xx x1 x2 2 221 2 1 xxxx 3分 x1 x2 x1 x2
13、0 4分 当x1x20 6分 当x1x2 0时 有 2 221 2 1 xxxx 0 f x2 f x1 x1 x2 2 221 2 1 xxxx 0 8分 即 f x2 f x1 所以 函数f x x3 1在 上是减函数 10分 证法二 在 上任取x1 x2 且x1 x2 1分 则 f x2 f x1 x 3 1 x 3 2 x1 x2 2 221 2 1 xxxx 3分 x1 x2 x1 x20 又 x 2 1 x 2 2 2 1 x 2 1 x 2 2 x1x2 x1x2 2 221 2 1 xxxx 0 f x2 f x1 x1 x2 2 221 2 1 xxxx 0 8分 即 f x
14、2 3 2 1 n loga x2 a 当n为奇数时 3 2 1 n 0 不等式 等价于 logax loga x2 a 因为a 1 式等价于 axx ax x 2 2 0 0 0 0 2 axx ax x 2 411 2 411a x a ax 6分 因为 2 411a 2 4a a 所以 不等式 的解集为 x a x 2 411a 8分 当n为偶数时 3 2 1 n loga x2 a 因为a 1 式等价于 axx ax x 2 2 0 0 0 0 2 axx ax x 2 411a x ax 或 2 411a x ax 10分 因为 a aaa 2 4 2 411 0 2 411 12分
15、 所以 不等式 的解集为 x x 2 411a 综合得 当n为奇数时 原不等式的解集是 x 2 411a xa 当n为偶数时 原不等式的解集是 x 2 411a x 26 本小题考查双曲线性质 两点距离公式 两直线垂直条件 代数二次方程等基 本知识 以及综合分析能力 满分12分 解法一 设双曲线的方程为 2 2 2 2 b y a x 1 依题意知 点P Q的坐标满足方程组 22 2 2 2 2 5 3 1 baccxy b y a x 其中 将 式代入 式 整理得 5b2 3a2 x2 6a2cx 3a2c2 5a2b2 0 3分 设方程 的两个根为x1 x2 若5b2 3a2 0 则 a
16、b 5 3 即直线 与双曲线 的两条 渐近线中的一条平行 故与双曲线只能有一个交点同 与题设矛盾 所以5b2 3a2 0 根据根与系数的关系 有 22 2 21 35 6 ab ca xx 22 2222 21 35 53 ab baca xx 6分 由于P Q在直线y 5 3 x c 上 可记为 P x1 5 3 x1 c Q x2 5 3 x2 c 由OP OQ得 1 1 5 3 x cx 2 2 5 3 x cx 1 整理得3c x1 x2 8x1x2 3c2 0 将 式及c2 a2 b2代入 式 并整理得 3a4 8a2b2 3b4 0 a2 3b2 3a2 b2 0 因为 a2 3b2 0 解得b2 3a2 所以 c 22 ba 2a 8分 由 PQ 4 得 x2 x1 2 5 3 x2 c 5 3 x1 c 2 42 整理得 x1 x2 2 4x1x2 10 0 将 式及b2 3a2 c 2a代入 式 解得a2 1 10分 将a2 1代入b2 3a2 得 b2 3 故所求双曲线方程为x2 3 2 y 1 12分 解法二 式以上同解法一 4分 解方程 得x1 22 22 35
