《1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案（文）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案（文）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1991 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学 文史类 考生注意 考生注意 这份试卷共三道大题 26 个小题 满分 120 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共15小题 每小题小题 每小题3分 共分 共45分 在每小题给出的四个选项中 只有一分 在每小题给出的四个选项中 只有一 是符合题目要求的是符合题目要求的 把所选项前的字母填在题后括号内把所选项前的字母填在题后括号内 奎屯 王新敞 新疆 1 已知sin 5 4 并且 是第二象限的角 那么tg 的值等于 A 3 4 B 4 3 C 4 3 D 3 4 2 焦点在 1 0 顶点在 1 0 的抛物线方程是
2、 A y2 8 x 1 B y2 8 x 1 C y2 8 x 1 D y2 8 x 1 3 函数y cos4x sin4x的最小正周期是 A 2 B C 2 D 4 4 P 2 5 关于直线x y 0的对称点的坐标是 A 5 2 B 2 5 C 5 2 D 2 5 5 如果把两条异面直线看成 一对 那么六棱锥的棱所在的12条直线中 异面直线 共有 A 12 对 B 24 对 C 36 对 D 48 对 6 函数y sin 2x 2 5 的图像的一条对称轴的方程是 A x 2 B x 4 C x 8 D x 4 5 7 如果三棱锥S ABC的底面是不等边三角形 侧面与底面所成的二面角都相等 且
3、 顶点S在底面的射影O在 ABC内 那么O是 ABC的 A 垂心 B 重心 C 外心 D 内心 8 已知 an 是等比数列 且an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 25 那么a3 a5的值等于 A 5 B 10 C 15 D 20 9 已知函数y 1 56 x x x R 且x 1 那么它的反函数为 A y 1 56 x x x R 且 x 1 B y 6 5 x x x R 且 x 6 C y 56 1 x x x R 且 x 6 5 D y 5 6 x x x R 且 x 5 10 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台 其中至少要有甲型与乙型电视机各1 台 则不同的取法共有 A 1
4、40 种 B 84 种 C 70 种 D 35 种 11 设甲 乙 丙是三个命题 如果甲是乙的必要条件 丙是乙的充分条件但不是乙 的必要条件 那么 A 丙是甲的充分条件 但不是甲的必要条件 B 丙是甲的必要条件 但不是甲的充分条件 C 丙是甲的充要条件 D 丙不是甲的充分条件 也不是甲的必要条件 12 5 1 1 4 1 1 3 1 1 lim n n 1 2 1 n 的值等于 A 0 B 1 C 2 D 3 13 如果AC 0且BC 0 那么直线Ax By C 0不通过 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 14 如果奇函数f x 在区间 3 7 上是增函数且最小值为5 那
5、么f x 在区间 7 3 上是 A 增函数且最小值为 5 B 增函数且最大值为 5 C 减函数且最小值为 5 D 减函数且最大值为 5 15 圆x2 2x y2 4y 3 0上到直线x y 1 0的距离为2的点共有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共5小题 每小题小题 每小题3分 共分 共15分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 16 双曲线以直线x 1和y 2为对称轴 如果它的一个焦点在y轴上 那么它的另一焦 点的坐标是 17 已知sinx 2 15 则sin2 x 4 奎屯 王新敞 新疆 18 不等式lg x2 2x 2 1 那
6、么a 奎屯 王新敞 新疆 20 在长方体ABCD A1B1C1D1中 已知顶点A上三条棱长分别是32 2 如果对 角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是 那么cos2 cos2 cos2 奎屯 王新敞 新疆 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共6小题 共小题 共60分分 21 本小题满分8分 求函数y sin2x 2sinxcosx 3cos2x的最大值 22 本小题满分8分 已知复数z 1 i 求复数 1 63 2 z zz 的模和辐角 的主值 23 本小题满分10分 如图 在三棱台A1B1C1 ABC中 已知A1A 底面 ABC A1A A1B1 B1C1 a B1B BC 且B
7、1B和底面ABC 所成的角45 求这个棱台的体积 24 本小题满分10分 设 an 是等差数列 bn 2 1 an 已知b1 b2 b3 8 21 b1b2b3 8 1 求等差数列的通项an 25 本小题满分12分 设a 0 a 1 解关于x的不等式 1 224 2axx a a 26 本小题满分12分 已知椭圆的中心在坐标原点 O 焦点在坐标轴上 直线 y x 1 与该椭圆相交于 P 和 Q 且 OP OQ PQ 2 10 求椭圆的方程 19911991年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题数学试题 文史类文史类 参考解答及评分标准参考解答及评分标准 说明 说
8、明 一 本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力 并给出了一种或几种较为常见的 解法 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应 评分细则 二 每题都要评阅到底 不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅 当考 生的解答在某一步出现错误 影响了后继部分时 如果该步以后的解答未改变这一题的内 容和难度时 可视影响的程度决定后面部分的给分 但不得超过后面部分应给分数的一半 如果这一步以后的解答有较严重的错误 就不给分 三 为了阅卷方便 本试题解答中的推导步骤写得较为详细 允许考生在解题过程中 合理省略非关键性的推导步骤 四 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步
9、应得的累加分数 五 只给整数分数 一 选择题一 选择题 本题考查基本知识和基本运算本题考查基本知识和基本运算 每小题每小题3 3分 满分分 满分4545分分 1 A 2 D 3 B 4 C 5 B 6 A 7 D 8 A 9 B 10 C 11 A 12 C 13 C 14 B 15 C 二 填空题 本题考查基本知识基本运算二 填空题 本题考查基本知识基本运算 每小题每小题3 3分 满分分 满分1515分分 16 2 2 17 2 5 18 x 4 x 2 19 1 5 10 20 2 三 解答题三 解答题 21 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质 满分8分 解 y sin2x 2
10、sinxcosx 3cos2x sin2x cos2x 2sinxcosx 2cos2x 2分 1 sin2x 1 cos2x 4分 2 sin2x cos2x 2 2sin 2x 4 6分 当sin 2x 4 1时 函数y有最大值 这时y的最大值等于2 2 8分 注 没有说明 当sin 2x 4 1时 函数y有最大值 而得出正确答案 不扣分 22 本小题考查复数基本概念和运算能力 满分8分 解 1 63 2 z zz 11 6 1 3 1 2 i ii i i 2 3 2分 1 i 4分 1 i的模r 22 1 1 2 因为1 i对应的点在第四象限且辐角的正切 tg 1 所以辐角的主值 4
11、7 8分 23 本小题考查直线与直线 直线与平面的位置关系 以及逻辑推理和空间想象能 力 满分10分 解 因为A1A 底面ABC 所以根据平面的垂线的定义有A1A BC 又BC BB1 且 棱AA1和BB1的延长线交于一点 所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC 侧面 A1ABB1 从而根据平面的垂线的定义又可得出BC AB ABC是直角三角形 ABC 90 并且 ABB1就是BB1和底面ABC所成的角 ABB1 45 3分 作B1D AB交AB于D 则B1D A1A 故B1D 底面ABC Rt B1DB中 DBB1 45 DB DB1 AA1 a AB 2a 6分 由于棱台的两个底面相
12、似 故 Rt ABC Rt A1B1C1 B1C1 A1B1 a AB 2a BC 2a S上 2 1 A1B1 B1C1 2 2 a S下 2 1 AB BC 2a2 8分 V棱台 3 1 A1A 下下上上 SSSS 3 1 a 6 7 22 22 322 22 aaa aa 10分 24 本小题考查等差数列 等比数列的概念及运用方程 组 解决问题的能力 满分10 分 解 设等差数列 an 的公差为d 则an a1 n 1 d dna n b 1 1 2 1 b1b3 1 2 1 a da2 1 2 1 da 1 2 2 1 2 2 b 由 b1b2b3 8 1 得 3 2 b 8 1 解得
13、 b2 2 1 3分 代入已知条件 8 21 8 1 321 321 bbb bbb 整理得 8 17 4 1 31 31 bb bb 解这个方程组得b1 2 b3 8 1 或b1 8 1 b3 2 6分 a1 1 d 2或a1 3 d 2 8分 所以 当a1 1 d 2时 an a1 n 1 d 2n 3 当a1 3 d 2时 an a1 n 1 d 5 2n 10分 25 本小题考查指数函数性质 解不等式及综合分析能力 满分12分 解法一 原不等式可写成 224 2axx aa 1分 根据指数函数性质 分为两种情形讨论 当0 a 1时 由 式得 x4 2x2 a2 0 3分 由于0 a0
14、所以 式等价于 11 11 22 22 ax ax 5 分 解 式得 x 2 11a 解 式得 2 11a x 2 11a 7 分 所以 0 a 1 时 原不等式的解集为 x 2 11a x 2 11a x 2 11a x1 时 由 式得 x4 2x2 a2 0 9 分 由于 a 1 判别式 0 故 式对任意实数 x 成立 即得原不等式的解集为 x x 12 分 综合得 当 0 a 1 时 原不等式的解集为 x 2 11a x 2 11a x 2 11a x1 时 原不等式的解集为 x x 解法二 原不等式可写成 224 2axx aa 1 分 当 0 a 1 时 由 式得 x4 2x2 a2
15、 0 3 分 分解因式得 x2 1 2 1a x2 1 2 1a 0 即 011 011 22 22 ax ax 或 011 011 22 22 ax ax 5 分 解由 组成的不等式组得 2 11a x 2 11a 或 2 11a x 2 11a 7 分 由 组成的不等式组解集为空集 所以 0 a 1 时 原不等式的解集为 x 2 11a x 2 11a x 2 11a x1 时 由 式得 x4 2x2 a2 0 9 分 配方得 x2 1 2 a2 1 0 对任意实数 x 不等式 都成立 即 a 1 时 原不等式的解集为 x x 12 分 综合得 当 0 a 1 时 原不等式的解集为 x 2
16、 11a x 2 11a x 2 11a x1 时 原不等式的解集为 x x 26 本小题考查椭圆的性质 两点的距离公式 两条直线垂直条件 二次方程根与系 数的关系及分析问题的能力 满分 12 分 解法一 设所求椭圆方程为 1 2 2 2 2 b y a x 依题意知 点 P Q 的坐标满足方程组 1 1 2 2 2 2 xy b y a x 将 式代入 式 整理得 a2 b2 x2 2a2x a2 1 b2 0 2 分 设方程 的两个根分别为 x1 x2 那么直线 y x 1 与椭圆的交点为 P x1 x1 1 Q x2 x2 1 3 分 由题设 OP OQ PQ 2 10 可得 2 10 11 1 11 2 2 12 2 12 2 2 1 1 xxxx x x x x 整理得 05164 012 21 2 21 2121 xxxx xxxx 6分 解这个方程组 得 2 3 4 1 21 21 xx xx 或 2 1 4 1 21 21 xx xx 根据根与系数的关系 由 式得 4 11 2 32 22 22 22 2 ba ba ba a 或 4 11 2 12 22 22 22
