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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，解不等式求得集合，然后求两个集合的交集.【详解】由，解得；由，解得，故.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.复数，若复数
2、， 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可知，据此结合复数的乘法运算法则计算的值即可.【详解】由题意可知，所以，故选A【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数的对称性，属于基础题.3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增函数是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：A：函数为偶函数，在上单调递减，B：函数为偶函数，在上单调递减，C：函数为偶函数，在上单调递增，D：函数为奇函数所以综上可得：C正确考点：函数奇偶性、函数的单调性4.若，且，则与的夹角是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】
3、根据相互垂直的向量数量积为零，求出与的夹角.【详解】由题有，即，故，因为，所以.故选：B.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题.5.为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如下表.已知在小区的居民中随机抽取名，抽到岁岁女居民的概率是.现用分层抽样的方法在全小区抽取名居民，则应在岁以上抽取的女居民人数为（ ）岁岁岁岁岁以上女生男生A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据抽到岁岁女居民的的概率是，可求出岁岁女居民的人数， 进而求出岁以上的女居民的人数为，根据全小区要抽取人，再根据分层抽样法，即可求出结果【
4、详解】因为在全小区中随机抽取1名，抽到岁岁女居民的概率是0.19 即：， 岁以上的女居民的人数为， 现用分层抽样的方法在全小区抽取名居民， 应在应在岁以上抽取的女居民人数为名故选：C.【点睛】本题考查分布的意义和作用，考查分层抽样，属于基础题6.我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A. B. C. 27D. 18【答案】B【解析】【分析】由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解.【详解】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体
5、积.故选B【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将问题中的角看作未知角，条件中的角看作已知角，由未知角与已知角的关系，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值.【详解】因为，又因为，所以，则有故选A.【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.8.已知数列为等差数列，前项和为，且则（
6、 ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的前项和公式和等差中项的概念，即可求出结果.【详解】因数列为等差数列且，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式和等差中项的概念的应用，属于基础题.9.函数f（x）=的大数图象为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和
7、函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.在三角形中，分别是角，的对边，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据余弦定理，即可求出，然后再根据，即可求出结果.【详解】由余弦定理可知，即，所以，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形的中应用，同时考查了三角形面积公式的应用，属于基础题.11.已知椭圆的两个焦点分别是，过的直线交椭圆于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意作出草图，设点，从而由可写出点；再由椭圆第二定义可得，从而可得，从而化简
8、得到 ，再由及椭圆的第二定义可得，从而解得【详解】由题意作出草图，如下图所示，其中是椭圆的准线，设点 ， ， 点； 又 ， ， 又 ， ， 解得， ，； 将 代入化简可得， 即 ； 解得 (舍去)或 ，所以椭圆的离心率为. 故选：C【点睛】本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题12.已知定义在上的函数满足，时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得，即是周期为的周期函数，结合函数的解析式求出的值，分析可得的值，进而可得，又由，分析可得答案【详解】根据题意，函数满足， 则，即是周期为的周期函数， 当时，则 ， 又由，则， 所以， 所以.故选
9、：D【点睛】本题考查函数的周期性的应用，关键是分析函数的周期，属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设，满足约束条件，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】作可行域，结合目标函数所表示的直线确定最优解，解得结果【详解】作出 满足约束条件的可行域，如下图： 当直线经过点时，故答案为：【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题14.如图，y=f（x）是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y= f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），其中是g（x）的导函数，则 【答案】0【解析】试题分析：由题意直线: y=kx+2是曲线y=f（x）在x=
10、3处的切线，由图像可知其切点为（3,1）代入直线方程得k=,所以.考点：导数的运算.15.已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为_.【答案】【解析】试题分析：由题意可得：双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，即.考点：双曲线的定义及性质.16.如图所示，某住宅小区内有一个正方形草地，现欲在其中修建一个正方形花坛，若已知花坛面积为正方形草地面积的，则_【答案】或【解析】【分析】设，用，表示出草地和正方形的面积，根据面积比列出方程得出【详解】设，则 花坛面积为正方形草地面积的， ，即 ，解得 或 ，即或者或
11、故答案为：或【点睛】本题考查了解三角形的实际应用，属于基础题三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分)17.记为等比数列的前项和，.（）求的通项公式；（）已知，且的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据等比数列通项公式及求和公式，代入即可求得公比，进而求得通项公式（2）根据等比数列的乘积，表示为指数为等差数列求和，进而求得，再根据二次函数的单调性求得最大值即可【详解】（1）设的公比为，由题意得：所以，即则所以.（2）当或4时，取得最大值，且.【
12、点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，等差数列求和公式的应用及最值求法，属于基础题18.在直三棱柱中，是的中点，是上一点.（1）当时，证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）证明 与两线垂直，利用线面垂直的判定定理得出 平面 ；（2）若 ，则 ，可求 ，即可求三棱锥 体积.试题解析：（1）证明：因为是的中点，所以，在直三棱柱中，因为底面，底面，所以,因为，所以平面，因为平面，所以.在矩形中，因为，所以，所以，所以,（或通过计算，得到为直角三角形）所以，因为，所以平面.（2）解：因为平面，,因为是的中点，所以，在中，,所以，因为，所以，所以，所以，
13、所以.19.某种植物感染病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗病毒的制剂，现对株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：)进行统计规定：植株吸收在（包括）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该株植株样本进行统计，其中“植株存活”的株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共株.编号吸收量（1）完成以下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？吸收足量吸收不足量合计植株存活植株死亡合计（2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取株，求这株中恰有株“植株存活”的概率.参考数据：，其中【答案】（1）填表见解析；不能在犯错误概率不超过的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关（2）【解析】【分析】（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值【详解】解析：(1)由题意可得“植株存活”的株，“植株死亡”的株；“吸收足量”的株，“吸收不足量”的株，填写列联表如下：吸收足量吸收不足量合计植株存活植株死亡合计所以不能在犯错误概率不超过的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关(2)样本中“制剂吸收不
