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1、研究对象的机理比较简单 用静态 线性 确定性模型即可达到建模目的 可以利用初等数学方法来构造和求解模型 尽量采用简单的数学工具来建模 如果用初等和高等的方法建立的模型 其应用效果差不多 那么初等模型更高明 也更受欢迎 第二章初等模型 第二章初等模型 2 1双层玻璃窗的功效2 2划艇比赛的成绩2 3实物交换2 4汽车刹车距离与道路通行能力2 5估计出租车的总数2 6评选举重总冠军2 7解读CPI2 8核军备竞赛2 9扬帆远航2 10节水洗衣机 问题 双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比 减少多少热量损失 假设 热量传播只有传导 没有对流 T1 T2不变 热传导过程处于稳态 材料均匀 热传导系数
2、为常数 建模 热传导定律 Q 单位时间单位面积传导的热量 T 温差 d 材料厚度 k 热传导系数 2 1双层玻璃窗的功效 单层 Ta Tb 记双层玻璃窗传导的热量Q1 Ta 内层玻璃的外侧温度 Tb 外层玻璃的内侧温度 建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 双层与单层窗传导的热量之比 k1 4 8 10 3 J cm s kw h k2 2 5 10 4 k1 k2 16 32 对Q1比Q2的减少量作最保守的估计 取k1 k2 16 建模 模型应用 取h l d 4 则Q1 Q2 0 03 即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比 可减少97 的热量损失 结果分析 Q1 Q2所以如此小 是由于层间
3、空气的热传导系数k2极低 而这要求空气非常干燥 不流通 房间通过天花板 墙壁 损失的热量更多 实际上双层窗的功效不会如此之大 2 2划艇比赛的成绩 对四种赛艇 单人 双人 四人 八人 4次国际大赛冠军的成绩进行比较 发现与桨手数有某种关系 试建立数学模型揭示这种关系 问题 准备 调查赛艇的尺寸和质量 问题分析 前进阻力 浸没部分与水的摩擦力 前进动力 桨手的划桨功率 分析赛艇速度与桨手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定 对桨手体重 功率 阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型 模型假设 1 艇形状相同 l b为常数 w0与n成正比 2 v是常数 阻力f与sv2成正
4、比 符号 艇速v 浸没面积s 浸没体积A 空艇重w0 阻力f 桨手数n 桨手功率p 桨手体重w 艇重W 艇的静态特性 艇的动态特性 3 w相同 p不变 p与w成正比 桨手的特征 模型建立 fsv2 pw s1 2A1 3 AW w0 nw n npfv 模型检验 利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型tn 1 9进行检验 与模型吻合 划艇比赛的成绩 对实际数据做比较 分析 发现并提出问题 利用物理基本知识分析问题 模型假设比较粗糙 利用合适的物理定律及简单的比例方法建模 只考虑各种艇的相对速度 模型结果与实际数据十分吻合 巧合 问题 甲有物品X 乙有物品Y 双方为满足更高的需要 商定相互交换一部
5、分 研究实物交换方案 用x y分别表示甲 乙占有X Y的数量 设交换前甲占有X的数量为x0 乙占有Y的数量为y0 作图 若不考虑双方对X Y的偏爱 则矩形内任一点p x y 都是一种交换方案 甲占有 x y 乙占有 x0 x y0 y 2 3实物交换 甲的无差别曲线 分析与建模 如果甲占有 x1 y1 与占有 x2 y2 具有同样的满意程度 即p1 p2对甲是无差别的 将所有与p1 p2无差别的点连接起来 得到一条无差别曲线MN 线上各点的满意度相同 线的形状反映对X Y的偏爱程度 比MN各点满意度更高的点如p3 在另一条无差别曲线M1N1上 于是形成一族无差别曲线 无数条 无差别曲线族的性质
6、 单调减 x增加 y减小 下凸 凸向原点 互不相交 在p1点占有x少 y多 宁愿以较多的 y换取较少的 x 在p2点占有y少 x多 就要以较多的 x换取较少的 y 甲的无差别曲线族记作 f x y c1 c1 满意度 f 等满意度曲线 甲的无差别曲线 乙的无差别曲线族g x y c2具有相同性质 形状可以不同 双方的交换路径 乙的无差别曲线族g c2 坐标系x O y 且反向 甲的无差别曲线族f c1 双方满意的交换方案必在AB 交换路径 上 因为在AB外的任一点p 双方 满意度低于AB上的点p 两族曲线切点连线记作AB 分析与建模 交换方案的进一步确定 交换方案 交换后甲的占有量 x y 0
7、 x x0 0 y y0矩形内任一点 交换路径AB X Y用货币衡量其价值 设交换前x0 y0价值相同 则等价交换原则下交换路径为 x0 0 0 y0 两点的连线CD AB与CD的交点p 设X单价a Y单价b 则等价交换下ax by s s ax0 by0 2 4汽车刹车距离与道路通行能力 提高道路通行能力是现代城市交通面临的重要课题 背景和问题 车辆速度越高 密度越大 道路通行能力越大 介绍交通流的主要参数及基本规律 讨论汽车刹车距离与道路通行能力两个模型 车速高 刹车距离变大 车辆密度将受到制约 需要对影响通行能力的因素进行综合分析 交通流的主要参数及基本规律 流量q 某时刻单位时间内通过
8、道路某断面的车辆数 辆 h 密度k 某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数 辆 km 速度v 某时刻通过道路某断面的车辆速度 km h 交通流 标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形成的车流 没有外界因素如岔路 信号灯等的影响 借用物理学概念 将交通流看作一辆辆汽车组成的连续流体 用流量 速度 密度3个参数描述其基本特性 3个参数之间的基本关系 速度v与密度k的关系 vf 畅行车速 k 0时 kj 阻塞密度 v 0时 数据分析 机理分析 流量q与密度k的关系 车速v vf 2时流量q最大 密度k变大 流量q增加 k kj 2时q最大 k继续变大 q减小 交通流的主要参数及基本规律 抛物线 流量
9、q与速度v的关系 km kj 2 最大流量时的密度 vm vf 2 最大流量时的速度 交通流的主要参数及基本规律 车速越快刹车距离越长 刹车距离 从司机决定刹车到车完全停止行驶的距离 汽车刹车距离模型 二者是线性关系吗 d与v不是线性关系 需对刹车过程作机理分析 建立d与v的数学模型 测试数据 问题分析 最大制动力与车质量成正比 使汽车作匀减速运动 刹车距离 反应距离 制动距离 反应距离 司机决定刹车到制动器开始起作用 制动距离 反应距离 制动距离 制动器开始起作用到汽车完全停止 模型假设 1 刹车距离d为反应距离d1与制动距离d2之和 2 反应距离d1与车速v成正比 比例系数为反应时间 3
10、刹车时使用最大制动力F F作的功等于汽车动能的改变 F与车的质量m成正比 F ma d1 c1v 模型建立 d d1 d2 制动距离为d2时 制动力F作的功为Fd2 车速从v变成0 动能的变化为mv2 2 d c1v c2v2 参数估计 调查交通工程学的相关资料 根据测试数据对模型作拟合 司机反应时间c1约为0 7 1s 系数c2约为0 01 mh2 km2 城市通行能力模型 道路通行能力 单位时间内通过某断面的最大车辆数 通行能力表示道路的容量 交通流量表示道路的负荷 饱和度 流量与通行能力的比值 表示道路的负荷程度 通行能力 在安全条件下 当具有标准长度和技术指标的车辆 以前后两车最小车头
11、间隔连续行驶时 单位时间内通过道路某断面的最大车辆数N 辆 h v 车速 km h D 最小车头间隔 m N 1000v D 城市干道的通行能力 最小车头间隔D主要由刹车距离d决定 d0 车身标准长度与两车间安全距离之和 取固定值 车速v一定时 道路通行能力N与c1 c2 d0 道路 车辆 司机等状况 有关 城市通行能力模型 D d d0 d c1v c2v2 N 1000v D 当d0 c1 c2变大时最大通行能力Nm减小 城市通行能力模型 最大通行能力 一些人喜欢记驶过身旁的汽车号码 两难境地的决策 与朋友打赌的 骰子 共识 出现任何号码汽车的机会相同 随意记下驶过的10辆出租车牌号 04
12、21 0128 0702 0410 0598 0674 0712 0529 0867 0312 估计这座城市出租车的总数 出租车牌号从某一个数字0101按顺序发放 2 5估计出租车的总数 估计出租车的总数 问题分析 10个号码从小到大重新排列 x0 x 区间内全部整数值 总体 x1 x2 x10 总体的一个样本 根据样本和x0对总体的x作出估计 起始号码x0平移为0001 模型建立 总体 全部号码 0001 0002 x 样本 总体中的n个号码从小到大排列x1 x2 xn 建立由x1 x2 xn估计x的模型 基本假定 每个xi取自总体中任一号码的概率相等 x 出租车总数 估计出租车的总数 模型
13、1平均值模型 模型建立 总数是样本均值的2倍 模型2中位数模型 假定 样本的最小值与最大值在总体中对称 模型3两端间隔对称模型 x1 1 x xn 模型4平均间隔模型 把起始号码和样本排成数列 1 x1 x2 xn 相邻两数有n个间隔 x1 1 x2 x1 1 xn xn 1 1 n个间隔的平均值 模型5区间均分模型 将总体区间 1 x 平均分成n份 假定 样本中每个xi都位于小区间的中点 x xn应是小区间长度的一半 计算与分析 第1样本 0321 0028 0602 0310 0498 0574 0612 0429 0767 0212 第2样本 0249 0739 0344 0148 05
14、24 0284 0351 0089 0206 0327 设定x0 0001 用5个模型估计出租车总数x 不合理 x 651 610 739 0739 不稳定 相差大 计算与分析 用全部样本 有统计依据 数值模拟 样本估计结果与总体对比 评价各个模型 用5个模型分别对每个样本估计总体x 画m个样本估计的x的直方图 分析x的分布 给定总体 1 2 x x 1000 从总体中取n 10个数为一个样本 共m 200个样本 对每个模型计算m个样本估计的x的平均值 标准差及平均值与真值x 1000间的误差 数值模拟 第1次模拟 第2次模拟 总体x 1000 每个样本n 10 m 200个样本 标准差大 标
15、准差小 模型4 平均间隔模型 较优 模型1 数值模拟 第1次模拟的直方图 左低右高的非对称型 左右对称型 模型中起始号码已知 平移至1 限制了应用范围 小结与评注 5个模型中平均值和中位数模型用到一点统计 其他3个模型来自常识 后者竟然较前者更优 数值模拟是模型检验的重要方法 给定总体通过模拟产生样本 根据模型得到总体参数 进行比较和评价 问题 哪些模型可以推广到起始号码未知的情况 与 估计出租车的总数 相关的历史事实 二战中一支盟军的指挥部急需掌握德军坦克的数量 盟军俘获了若干辆德军坦克 得到它们的序列号码 情报人员获知这支部队的坦克号码按顺序编排 以俘获的坦克号码为样本 估计出坦克总量 英
16、美情报机构通过捕获德军武器的序列编号 对军用轮胎 枪支 装甲车等众多装备的产量做出估计 战后将估计值与从档案中得到的实际产量进行比较 多数估计的误差在10 以内 举重 依靠运动员全身力量完成的体育项目 按照运动员体重划分级别进行比赛 赛艇 拳击 摔跤 每个级别都有一个冠军 能评选出一个 总冠军 吗 2 6评选举重总冠军 56kg 62kg 69kg 77k 85kg 94kg 105kg 105kg以上 男子举重比赛按运动员体重 上限 分为8个级别 问题 每个级别设3个项目 抓举 挺举 总成绩 每个级别 每个项目都产生一个冠军 同一项目 如抓举 的8个冠军中怎样选出 总冠军 不同级别冠军成绩按体重 折合 到某个标准级别 比较折合成绩 选出最高的作为总冠军 评选举重总冠军 问题分析 比赛产生各级别冠军成绩的实际值 建立体重与举重成绩的数学模型 评选举重总冠军 数据收集 利用举重比赛的世界纪录建立数学模型 多年积累下来的世界记录与某一次比赛成绩相比 更能避免偶然性 不同级别成绩的差别基本上由运动员体重决定 不掌握创造记录的运动员的实际体重 因为体重越大 举得越重 比赛时运动员体重都会调整到
