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1、第一章 随机事件与概率在现实生活中，有的过程产生的结果是确定的，例如在标准大气压下水加热到100一定会沸腾，到0一定会结冰；火箭速度超过第一宇宙速度火箭就会摆脱地球引力而飞出地球，这些都是确定性现象，亦称必然现象。微积分学、线性代数等研究的对象就是“确定性对象”。 有的过程会产生多种可能的结果，但究竟会出现哪个结果却是不确定的，称这种现象为随机现象。譬如掷一枚硬币，结果有可能正面向上，也可能反面向上，这一结果纯属偶然，是随机现象。有5位数组成彩票的号码，彩票开出某个号码为中奖号码也是随机现象，因为在相同条件下任何一个号码都有可能被选中。记录某网站一分钟内受到的点击次数；在一批灯泡中任取一只，测
2、其寿命；这些结果都不是确定的。概率论将对随机现象的观察或为观察随机现象而进行的试验称作随机试验。在现实生活中存在大量随机试验的例子，抛掷硬币的过程、工厂生产零件的过程可以看成是在进行随机试验，靠碰运气决定胜负的游戏也是一种随机试验，因为在游戏前并不知道游戏的结果。发射火箭和举办销售活动等也都是随机试验的例子，因为发射火箭是否成功、商品销售的数量都是不确定的。妇女怀孕后生男孩还是女孩，也是不确定的。虽然随机现象“纯属偶然”，但大量重复相同的试验会发现其结果还是有一定的规律可循，概率论与数理统计正是研究与揭示随机现象的定量规律性的一门数学分支。本章将介绍概率论的一系列最基础的概念，并讨论一些特殊场
3、合下的概率计算问题，使读者对概率有一个初步但又准确的认识，为学习下面的章节打好基础。1.1 随机事件1.1.1 随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1）在相同条件下试验是可重复的；（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母。称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母和表示样本点及样本空间。 必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。假
4、设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。于是这三个结果就构成了样本空间。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。 经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。例1.1
5、.1 ：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。在抛掷硬币这一试验中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间简化为：=正面,反面。：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出现的点数。样本空间为：。: 掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到=（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面) 读者可以将其推广到掷n个硬币，样本空间里有多少样本点呢？：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直至命中目标为止，观察其命中目标所进行的射击次数
6、。从理论上讲，只要不能击中目标,射手就必须一直射下去，故样本空间为，其中含无穷多个样本点。这也适用于商品销售，假设商场可以无限量地销售某种商品，每天销售的该商品数的样本空间为。 ：在人类学研究中“随机抽取一个人”并测量他的身高和重量，电梯设计师能利用这些资料设计电梯的空间和载重，对于中国人，身高（单位：米）的样本空间取就足够了，体重（单位：公斤）的样本空间取也许就足够了。在大部分实际的设计问题中，设计师有时会同时考虑电梯使用者的所有可能的身高和体重，更具体地说，设计者通常会对同时提供了可能使用者身高和体重的结果感兴趣。因此，样本空间是。 在大多数应用中可以将样本空间分为三类。(a) 样本空间只
7、可能包含有限个结果。和试验相关的样本空间是有限样本空间。如在投掷一个硬币的实验中只有二个可能的结果，掷一颗骰子，观察出现的点数，只有6种可能的结果。(b) 如上述试验，射手首中目标所需的射击次数，一次销售活动的结果就出售商品的数量而言，可以理想化地认为样本空间是由全部非负的整数组成。可以把这些试验的结果与可以计数的整数一一对应，因此，称这样的样本空间可以说是可数无穷的。如上述试验的情形。(c) 制造零件和测量它的强度的随机试验、测量人体身高或体重的试验中，可以想象试验结果落在一个充分大的实数区间里，实数区间是不能按顺序一一列举的（甚至是无穷序列），称这样理想化的样本空间是不可数无穷的，或连续的
8、。在许多情况，不必要区分有限样本空间和可数无穷的样本空间。因此，如果样本空间是有限的或是可数无穷的，称它是可数的样本空间。习惯上，把可数样本空间当做离散的样本空间而不可数样本空间当做连续的样本空间。此外要注意的是，即使看似相同的试验，不同的试验目的要求的样本空间可能不一样，见下例。例1.1.2 假设生产线上下来5个产品，编号为1，2，3，4，5，现从中抽取三个进行检查，如果不计抽取的次序，抽到产品的编号组成的样本空间包括以下10 个可能的结果（为什么？）：123,124,125,134,135,145,234,235,245,345.如果考虑抽取的次序，将会有 60个可能的结果（为什么？）。比
9、如，包括产品1，2和3的样本可有以下六种顺序被抽中：123,132,213,312,231,321.应该使用哪个样本空间取决于试验方法和评价，如果在没有限制的条件下连续地检验产品，但只选取包含两个及两个以上不合格品的样本，则显然应该使用第二个样本空间。 在这种情况下要注意的是，如果选择和被测试的前两件产品被发现都合格或都不合格，为了做出决定而去选择第三件产品是不必要的。 1.1.2 随机事件随机试验的结果称为随机事件，简称事件，并以大写英文字母记之。例如上述例1.1.1的试验中，若以表示“掷出正面”的结果，则是一个事件，它含有一个样本点正面；令表示“掷出反面”,则亦是试验的一种结果，从而亦是一
10、个事件。在试验中若以表示“掷出两个正面”的结果，则是一个事件，它含有一个样本点（正，正）；令表示“至少掷出一个反面”,显然含有个样本点（反，反），（正，反）,（反，正）。又例如，在例1.1.1的试验中，若以表示结果“掷出奇数点”，则是一个事件。由于当且仅当掷出1、3、5三种点数的任何一种时，事件发生，所以含有3个样本点“1”，“3”，“5”。再如，在中，若以表示“至少射击3次才会命中目标”这一结果，则是一个事件。这一结果意味着该试验的射击次数是3，4，5，这表明事件含有的样本点是“3”，“4”，“5”，。上述分析表明，描述试验结果的事件，就是试验的样本空间的子集，上述这6个事件都是相应样本空间
11、的子集。=(正面),=反面,=（正，正）,=(反，反），（正，反）（反，正）,=1,3,5,.事实上，对于含有有限个或可数个样本点的样本空间，可以将其任意一个子集称作事件。而对于含有不可数个样本点的试验而言，作为试验结果的事件，同样是试验的样本空间的子集。例如上述中，若令表示“身高在1.50至1.80米之间”这一集合，则显然也是的一个子集：.但对于具有不可数个样本点的样本空间,其子集要比通常想象的复杂，因此不能够将其任意子集都称作事件，对这一问题的深入讨论要用到测度论的知识，这里不再探讨。1.1.3 事件与集合的对应以及它们的运算通常用希腊字母表示样本空间, 表示样本点。称“是的成员”或者“属
12、于”，或者“是的元素”，记为.如果不是试验的一个可能结果，那么不是的元素，则记为.一个事件对应于样本空间的一个子集，因此某事件发生当且仅当它对应的子集中的某个元素（即样本点）在试验中出现。用表示事件是的子集。事件的相互关系与集合论中集合的包含、相等以及集合的运算等概念对应。以下就是这些对应关系与运算。为简化起见，以下均假设涉及的集合等都是的子集，而不再每次申明。1. 事件的包含集合的包含集合即“包含于”，意为中元素都在中，或说，如果，必有。对应于事件，表示的样本点都在中，即当的样本点出现于试验结果之中，即发生时，当然也就发生了，或说“的发生必导致的发生”。图1.1 的文氏图2. 事件的相等集合
13、的相等称集合A和B相等，并记为，是说“且”。对应于事件，称A和B相等，记为，就是“如果发生，则必然发生，同样如果发生，则必然发生”。相等的事件含有相同的样本点。3. 事件的并（和）并集集合A和B的并集记为,它的元素或者属于，或者属于（当然有的可能同时属于A和B），即。对应事件的并表示“或至少有一个发生”。图1.2 的文氏图并的概念可以推广到个事件和可数个事件,的并表示“中至少有一个发生”；可数个事件的并表示“中至少有一个发生”。4. 事件的交（积）交集两个集合A和B的交集记为，它是由既属于A又属于B的元素构成的集合，即对应于事件的交表示“A和B同时发生”。常简记作。图1.3 的文氏图类似地，交
14、得概念也可以推广到个事件的交,表示“个事件同时发生”，可数个事件的交表示“可数个事件同时发生”。5. 逆事件（对立事件）补集的子集A的补集记为，它是由属于但不属于A的元素构成的集合，因为仅牵涉到属于（样本空间）的点，集合就是由那些不属于A元素组成的。记为图1.4 的文氏图对应于事件，发生当且仅当不发生时发生，称作事件的逆事件。利用上述事件的并和交的运算符号，有 及 6. 事件的差差集集合与的差集由中那些不属于的元素全体组成。对应地，事件的差表示“发生而不发生”即。图1.5 的文氏图7. 互斥（或不相容）事件不交集在集合论中,若,则表明,没有公共元素，它们互不相交。对应于事件,若，则表明，不同时
15、发生，称与互斥（或不相容）。图1.6 的文氏图8. 必然事件和不可能事件样本空间和空集 有两个特殊的集合需要特别讨论，一个是样本空间本身，从集合的定义容易推断出是它自身的子集，从包含关系的左边取一个元素使它不在右边集合中，显然是不可能的，因此。又假设存在集合，该集合不包含任何元素（空的集合），必定是每一个集合的子集，对任何子集，要从中找到一个元素不在中，显然是不可能的，因为没有元素，因此，成立。对应于事件，称试验必然会出现的结果为必然事件。例如，例1.1.1的中“点数小于7”应是一种结果，其发生是必然的。显然，必然事件含有样本空间的全部样本点，因此用样本空间的字母表示必然事件是很自然的。此外，将不可能出现的结果称作不可能事件，记作，它对应于集合论中的空集。如中“射击次数小于0”就是一个不可能事件。显然，不可能事件不含有样本点。注意到以下等式总是成立的上述事件间的关系与运算可由集合论中的文氏图予以展示。与集合运算一样，事件的运算亦有如下的运算律：1交换律：，；2结合律：，；3分配律：，；4对偶律：，。上述运算律亦可推广到任意有限个或可列个事件的情况。例如，对个事件有分配律，对偶律留给读
