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1、成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 必修1 函数 第二章 你知道2008年北京奥运会开幕式时间为什么由原定的7月25日推迟到8月8日吗 通过查阅资料 我们了解到开幕式推迟的主要原因是天气 北京的天气到8月中旬 平均气温 平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降 比较适宜大型国际体育赛事 在日常生活中 我们会关心很多数据的变化 如食品的价格 燃油价格等 所有这些数据的变化 用函数观点看 其实就是随着自变量的变化 函数值是变大还是变小的问题 也就是本节我们所要研究的函数的单调性问题 1 函数的递增与递减在函数y f x 的定义域内的一个区间A上 如果对于任意两个数x1 x2 A 当
2、x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就称函数y f x 在区间A上是 有时也称函数y f x 在区间A上是 在函数y f x 的定义域内的一个区间A上 如果对于任意两个数x1 x2 A 当 时 都有 那么就称函数y f x 在区间A上是减少的 有时也称函数y f x 在区间A上是 增加的 递增的 x1 x2 f x1 f x2 递减的 2 函数的单调区间如果y f x 在区间A上是增加的或减少的 那么称A为 在单调区间上 如果函数是增加的 那么它的图像是 如果函数是 那么它的图像是下降的 对于函数y f x 的定义域内的一个子集A 如果对于任意两数x1 x2 A 当x1 x2时 都有f
3、x1 f x2 就称函数y f x 在数集A上是 在函数y f x 在定义域的一个子集A上 如果对于任意两数x1 x2 A 当x1 x2时 都有 就称函数y f x 在数集A上是 单调区间 上升的 减少的 增加的 f x1 f x2 减少的 3 函数的单调性如果函数 那么就称函数y f x 在这个子集上具有单调性 如果函数y f x 在整个定义域内是增加的或是减少的 我们分别称这个函数为 或 统称为 在定义域的某个子集上是增加的或是减少的 增函数 减函数 单调函数 1 函数f x x2的递增区间为 A 0 B 0 C D 1 答案 A 解析 由函数f x x2的图像可知 它的递增区间为 0 故
4、选A 3 函数f x 的图像如图所示 则 A 函数f x 在 1 2 上是增加的B 函数f x 在 1 2 上是减少的C 函数f x 在 1 4 上是减少的D 函数f x 在 2 4 上是增加的 答案 A 解析 结合图像可知函数f x 在 1 2 上是 上升 的 故A正确 答案 0 解析 由反比例函数的单调性知 b 0 bf 2 则x的取值范围是 答案 3 解析 f x 是R上的增函数 且f x 1 f 2 x 1 2 x 3 已知四个函数的图像如下图所示 其中在定义域内具有单调性的函数是 思路分析 已知函数的图像判断其单调性应从它的图像是上升的还是下降的角度来考虑 规范解答 根据函数单调性的
5、定义结合函数图像可知函数B在定义域内为单调递增函数 答案 B 函数单调性的判断 下列命题正确的是 A 定义在 a b 上的函数f x 若存在x1 x2 a b 使得x1 x2时有f x1 f x2 那么f x 在 a b 上是增加的B 定义在 a b 上的函数f x 若有无穷多对x1 x2 a b 使得x1 x2时有f x1 f x2 那么f x 在 a b 上是增加的C 若f x 在区间I1上为增加的 在区间I2上也是增加的 那么f x 在I1 I2上也一定是增加的D 若f x 在区间I上是增加的且f x1 f x2 x1 x2 I 那么x1 x2 答案 D 利用定义证明或判断函数的单调性
6、规律总结 证明函数在某个区间上的单调性的步骤 1 取值 在给定区间上任取两个值x1 x2 且x1 x2 2 作差变形 计算f x1 f x2 通过因式分解 通分 配方 分母 分子 有理化等方法变形 3 定号 判断上式的符号 若不能确定 则分区间讨论 4 结论 根据差的符号 得出单调性的结论 求函数单调区间 思路分析 求给定函数的单调区间通常采用以下方法 1 利用已知函数的单调性 2 图像法 3 定义法 利用单调性的定义探讨 答案 A 2 函数y 3x2 6x 12在区间 上为增函数 在区间 上为减函数 答案 1 1 解析 y 3x2 6x 12 3 x 1 2 15 它的图像开口向上 对称轴为
7、x 1 在 1 上为增函数 在 1 上为减函数 利用函数的单调性求最值 思路分析 1 结合函数f x 的图像分析f x 的单调性 从而确定其最大值 2 利用函数增加 减少的定义判断f x 在 2 6 上的单调性 再求最值 规律总结 1 熟记运用函数单调性求最值的步骤 1 判断 先判断函数的单调性 2 求值 利用单调性代入自变量的值求得最值 2 明确利用单调性求最大值 最小值易出错的几点 1 写出最值时要写最高 低 点的纵坐标 而不是横坐标 2 求最值忘记求定义域 3 求最值 尤其是闭区间上的最值 不判断单调性而直接将两端点值代入 利用单调性求参数取值范围 规律总结 利用函数的单调性求参数的取值
8、范围的步骤 把自变量 装在 定义域内 找出x1 x2的关系 得出函数的单调性 从而得出函数值之间的关系 注意也可逆用 最后再应用分类讨论 数形结合等思想解决问题 已知y f x 在定义域 1 1 上是减少的 且f 1 a f 2a 1 求a的取值范围 分析 不等式f 1 a f 2a 1 为抽象不等式 不能直接求解 考虑到函数的单调性 可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系 即转化为具体不等式来求解 若函数f x x2 2 a 1 x 4的单调递减区间是 4 则实数a的取值范围是 错解 函数f x 的图像的对称轴为直线x 1 a 由于函数在区间 4 上单调递减 因此1 a 4 即a 3 辨析 错解中把单调区间误认为是在区间上单调 正解 因为函数的单调递减区间为 4 且函数图像的对称轴为直线x 1 a 所以有1 a 4 即a 3 答案 a 3 规律总结 单调区间是一个整体概念 比如说函数的单调递减区间是I 指的是函数递减的最大范围为区间I 而函数在某一区间上单调 则指此区间是相应单调区间的子集 所以我们在解决函数的单调性问题时 一定要仔细读题 明确条件含义
