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1、函数 高中数学专题 函数内容回顾 1 定义域一 定义域根据函数的基本性质求定义域注意两种情况 根号 分母二 值域与最值直接法 配方法 反函数法 判别式法 分离常数法 换元法 不等式法 单调性法 求导法 数形结合法例 求y 2x 4x 5 2 x 2 函数的单调性 1 增函数设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在区间D上是增函数 区间D称为y f x 的单调增区间 函数的单调性 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这
2、个区间上是减函数 区间D称为y f x 的单调减区间 注意 函数的单调性是函数的局部性质 图象的特点 如果函数y f x 在某个区间是增函数或减函数 那么说函数y f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的 减函数的图象从左到右是下降的 函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法 1任取x1 x2 D 且x1 x2 2作差f x1 f x2 3变形 通常是因式分解和配方 4定号 即判断差f x1 f x2 的正负 5下结论 指出函数f x 在给定的区间D上的单调性 B 图象法 从图象上看升降 y x y x 1 1 1 o x y x y o 2 y x
3、2 2 1 单调增区间 单调增区间 0 单调减区间 0 单调减区间 0 0 1 2 3 观察下列函数图象 写出单调区间 函数的单调性是函数的局部性质 例 根据函数单调性定义 证明函数 证明 设x2 x1 2 则 上是增函数 函数的奇偶性 整体性质 1 偶函数一般地 对于函数f x 的定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么f x 就叫做偶函数 2 奇函数一般地 对于函数f x 的定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么f x 就叫做奇函数 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称 奇函数的图象关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的步骤 1首先确定函数的定义域 并判断其
4、是否关于原点对称 2确定f x 与f x 的关系 3作出相应结论 若f x f x 或f x f x 0 则f x 是偶函数 若f x f x 或f x f x 0 则f x 是奇函数 利用定义判断函数奇偶性的步骤 注意 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 首先看函数的定义域是否关于原点对称 若不对称则函数是非奇非偶函数 若对称 1 再根据定义判定 2 由f x f x 0或f x f x 1来判定 3 借助函数的图象判定 3 奇函数 1 偶函数 2 非奇非偶函数 2 已知f x x 9 x在x 0时的图像如图所示 则当x 0时 请画出f x 的图像 3 6 函数考点强化 一 奇
5、偶性设f x 是 上的奇函数 f x 2 f x 当0 x 1时 f x x 则f 7 5 等于 A 0 5B 0 5C 1 5D 1 5 1 如果奇函数f x 在区间 3 7 上是增函数且有最小值是5 那么f x 在区间 7 3 上 A 最小值是5 B 最小值是 C 最大值是 D 最大值是5 函数单调性和奇偶性的综合应用 2 设函数f x 是 上的偶函数且在 0 上为增函数则 A f f 3 f 2 B f f 2 f 3 C f f 3 f 2 D f f 2 f 3 D A 3 定义在 1 1 上的函数f x 是奇函数 并且在 1 1 上f x 是增函数 求满足条件f 1 a f 1 a
6、2 0的a的取值范围 解 由f 1 a f 1 a2 0得f 1 a2 f 1 a f x 是奇函数 f x 在 1 1 上是增函数 f 1 a2 f a 1 故a的取值范围为 1 二次函数的解析式 待定系数法 一般式 y ax2 bx c a 0 顶点式 y a x h 2 k a 0 其中 h k 为抛物线的顶点坐标 零点式 两根式 y a x x1 x x2 a 0其中x1 x2是抛物线与x轴两交点的横坐标 二次函数 2 二次函数研究的四元素 开口a 对称轴 b 2a 顶点 与坐标轴的交点 1 配方法2 顶点公式3 对称代入法 1 与y轴的交点 0 c 2 与x轴的交点 y 0时 转化成
7、一元二次方程 3 二次函数的相关量1 单调性的相关量 开口 对称轴2 最值相关量 定义域R 定义域 m n 3 对称轴相关量 1 对称轴x b 2a2 f a f b a b 对称轴x a b 2 二次函数的解析式 例1 已知函数f x ax2 a2x 2b a3 当x 2 6 时 f x 0 当x 2 6 时 f x 0 且f 0 48 求f x 三个 二次 的基本关系 重要题型 二次函数的区间最值 求解二次函数在区间上最值 注意分顶点横坐标在区间的左 中 右三种情况进行讨论 若函数f x x2 2 a 1 x 2在 4 上是减函数 则a的范围是 A a 3B a 3C a 5D a 5 练
8、习4 已知二次函数f x x2 2ax 1 a在区间 0 1 上有最大值为2 求实数a的值 解析 根据对称轴x a与区间 0 1 的关系讨论 当a1时 f x max f 1 a 2 所以实数a的值是 1或2 三类重要题型 二次方程根的分布问题 一 符号根问题 从 x1 x2 x1x2三方面列不等式 组 两正根 两负根 异号根 二 区间根问题 从 顶点横坐标 端点值三方面列不等式 组 突现函数图象 研究二次方程ax2 bx c 0的根的分布问题 二次项系数a的符号 判别式的符号 区间端点函数值的正负 对称轴x b 2a与区间端点的关系 注 方程 不等式问题等价转化图形问题等价转化简单不等式组 二次函数的零点分布 例 已知函数f x x2 2mx 2m 1的零点都在区间 0 1 上 求实数m的取值范围 二次函数的零点分布也即二次方程实根分布 若两个零点分布在同一区间 则其充要条件包含三个方面 即判别式大于等于0 对称轴在该区间上 区间端点的函数值的符号 根据图象判断 若两个零点分布在两个不同区间 则其充要条件包含一个方面 即区间端点的函数值的符号 根据图象判断
