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1、Chapter4 傅里叶变换和系统的频域分析 FourierTransformandFrequency DomainAnalysisofSystems page2 第四章傅里叶变换和系统的频域分析 第二 三章中分别讨论了连续时间系统和离散时间系统的时域分析法 以冲激函数或单位序列为基本信号 任意信号可分解为一系列冲激函数或单位序列 而系统的响应 零状态响应 是输入信号与系统冲激响应或单位序列响应的卷积 page3 本章主要讨论连续信号的傅里叶变换和连续系统的频域分析法 所谓傅里叶变换 含正变换和逆变换 其目的是以正弦函数或虚指数函数为基本信号 将任意连续时间信号表示为一系列不同频率的正弦函数或
2、虚指数函数之和 对于周期信号 或积分 对于非周期信号 page4 接下来我们可证明 连续LTI系统对虚指数函数的响应仍是同频率的虚指数函数 只是乘上了一个与有关的复常数 输出 输入 page5 时域分析法 频域分析法 卷积乘积 page6 频域分析法的优点 1 将卷积运算转换为乘积运算 使运算简化 2 物理意义更明确 不存在 正余弦函数常见 3 将反卷积运算转换为除法运算 page7 第四章傅里叶变换和系统的频域分析 4 1信号分解为正交函数 正交函数集的定义信号分解公式 4 2傅里叶级数 三角函数形式奇 偶函数的级数特点指数形式 page8 4 1信号分解为正交函数 4 1信号分解为正交函数
3、 信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似 为轴和轴的单位矢量 组成一个二维正交矢量集 矢量正交分解的概念可以推广到信号空间 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号 使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合 page9 4 1信号分解为正交函数 一 正交函数集 1 正交函数 在区间上定义的非零实函数和 若满足条件 则称函数和为在区间的正交函数 page10 4 1信号分解为正交函数 3 完备正交函数集 如果在正交函数集之外不存在函数满足等式 则称该函数集为完备正交函数集 page11 4 1信号分解为正交函数 对任意的和 注意 正弦函数集是正交函数集 但不是完备正
4、交函数集 page12 4 1信号分解为正交函数 例 复函数集在区间组成完备正交函数集 其中 原因 式 a 自己下去验证 page13 4 1信号分解为正交函数 显然 应选取各系数使实际函数与近似函数在区间内的误差为最小 为防止正负误差相互抵消的情况 通常采用最小均方误差准则 其中的均方误差定义为 在中 为求得 必须使 即 式 b page14 4 1信号分解为正交函数 page15 4 1信号分解为正交函数 可推得 交换微分与积分次序 可得 page16 4 1信号分解为正交函数 展开前面的式 b 可得 由于 得 page17 4 1信号分解为正交函数 由于 显然当所取的项数越大时 均方误差
5、越小 越大 越接近于 page18 4 2傅里叶级数 4 2傅里叶级数 本节的任务是将周期信号在区间展开成在完备正交函数集中的无穷级数 如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集 那么 周期信号所展开的无穷级数就分别称为 三角型傅里叶级数 或 指数型傅里叶级数 统称为傅里叶级数 page19 4 2傅里叶级数 一 周期信号的分解 结果为三角函数的形式 设有一个周期信号 它的周期是 角频率 它可分解为 前提 满足狄里赫利条件 其中称为傅里叶系数 教材P120 page20 4 2傅里叶级数 傅里叶系数可按 4 1中的相关公式计算 page21 4 2傅里叶级数 因此 在最终展开式中的常数项为
6、page22 4 2傅里叶级数 由于和是同频率项 可进行合并 式中 page23 4 2傅里叶级数 总结 任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和许多余弦 正弦 分量 其中第一项是常数项 它是周期信号所包含的直流分量 式中第二项称为基波或一次谐波 其角频率与原周期信号相同 是基波振幅 是基波初相角 式中第三项称为二次谐波 以此类推 还有三次 四次 谐波 一般而言 其中的称为次谐波 总之 周期信号可分解为各次谐波分量 page24 4 2傅里叶级数 例4 2 1将如图所示的方波信号展开为傅里叶级数 解 page25 4 2傅里叶级数 page26 4 2傅里叶级数 page27 4 2傅里叶
7、级数 下面考察当用有限项级数逼近时引起的误差 当取一 三次谐波时 当取一 三 五次谐波时 当取一 三 五 七次谐波时 当只取基波时 page28 4 2傅里叶级数 T T 2 0 t a 基波 0 T 2 T t b 基波 三次谐波 0 T 2 T t c 基波 三次谐波 五次谐波 0 T 2 T t d 基波 三次 五次 七次谐波 page29 4 2傅里叶级数 2 级数所取项数愈多 在间断点附近 尖峰愈靠近间断点 即使 在间断点处尖峰仍不能与之吻合 有约的偏差 但在均方 整体 的意义上 合成波形同原方波的真值之间没有区别 吉布斯现象 page30 4 2傅里叶级数 二 奇 偶函数的傅里叶级
8、数 若给定的有某些特点 那么 有些傅里叶系数将等于零 从而使得计算较为简便 page31 4 2傅里叶级数 2 为奇函数 即有 波形对称于原点 page32 4 2傅里叶级数 注意 任意信号都可以分为奇函数和偶函数两部分 其中 式 a 式 b page33 任意周期信号可以分为奇函数和偶函数两部分 是否会简化傅里叶级数系数的计算 思考 4 2傅里叶级数 page34 4 2傅里叶级数 3 为奇谐函数 如果函数的前半周期波形移动后 与后半周期波形相对于横轴对称 即 则称该函数为奇谐函数 此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量 而不含有偶次谐波分量 即 例 page35 4 2傅里叶级数 证
9、令 可得 page36 4 2傅里叶级数 令 page37 4 2傅里叶级数 例4 2 2正弦交流信号经全波或半波整流后的波形如下图所示 求它们的傅里叶级数展开式 a 全波整流信号 b 半波整流信号 解 1 全波整流信号 page38 4 2傅里叶级数 为偶函数 令 可得 方法一 page39 4 2傅里叶级数 page40 4 2傅里叶级数 注意 同样可看成是周期为的周期函数 此时 对应的基波角频率为 方法二 仍为偶函数 page41 4 2傅里叶级数 令 可得 page42 4 2傅里叶级数 令 可得 page43 4 2傅里叶级数 2 半波整流信号 方法一 page44 4 2傅里叶级数
10、 page45 4 2傅里叶级数 令 page46 4 2傅里叶级数 对于半波整流信号 也可分解为奇函数与偶函数两部分进行求解 方法二 page47 4 2傅里叶级数 page48 4 2傅里叶级数 三 傅里叶级数的指数形式 设 对上式中第三项进行变量替换 三角形式 page49 4 2傅里叶级数 利用 可得 page50 4 2傅里叶级数 令复数量 称其为复傅里叶系数 简称傅里叶系数 可得指数形式的傅里叶级数为 其中的傅里叶系数为 教材P127式 4 2 18 中多了一个1 2 page51 4 2傅里叶级数 讨论 与的关系 page52 4 2傅里叶级数 例4 2 3周期锯齿波的信号如图所
11、示 求其指数形式的傅里叶级数展开式 解 page53 4 2傅里叶级数 当时 有 分部积分法 page54 4 3周期信号的频谱 4 3周期信号的频谱 一 周期信号的频谱 单边谱 page55 4 3周期信号的频谱 a 单边幅度谱 b 单边相位谱 page56 4 3周期信号的频谱 双边谱 page57 4 3周期信号的频谱 a 双边幅度谱 b 双边相位谱 page58 4 3周期信号的频谱 周期信号频谱的共同点 第一为离散性 此频谱由不连续的谱线组成 每一条谱线代表一个正弦分量 所以此频谱称为不连续谱或离散谱 第二为谐波性 此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上 即含有的各次谐波
12、分量 而决不含有非整数倍的谐波分量 第三为收敛性 各次谐波分量的振幅虽然随的变化有起伏变化 但总的趋势是随着的增大而逐渐减小 当时 page59 4 3周期信号的频谱 二 周期矩形脉冲的频谱 设有一幅度为1 脉冲宽度为的周期性矩形脉冲 其周期为 求其复傅里叶级数 解 page60 4 3周期信号的频谱 定义 取样函数 2 是偶函数 3 总体呈衰减趋势 4 是的零点 page61 4 3周期信号的频谱 周期性矩形脉冲指数形式的傅里叶级数展开式为 page62 4 3周期信号的频谱 几个重要指标 1 相邻谱线的间隔 3 第一个零点的位置 2 谱线零点的位置 page63 4 3周期信号的频谱 周期
13、性矩形脉冲频谱的特点 1 离散性 2 谐波性 且当时 谱线越稠密 4 谱线的幅度按包络线的规律变化 当时 相应的频谱分量等于零 3 收敛性 能量主要集中在低频频率处 page64 4 3周期信号的频谱 谱线越稠密 间隔 非周期信号演变为连续谱 page65 4 3周期信号的频谱 零点位置越远 带宽越宽 page66 4 3周期信号的频谱 三 周期信号的功率 从频域计算 周期信号是功率信号 归一化平均功率为 以上为时域表达式 其频域表达式为 page67 4 3周期信号的频谱 4 3周期信号的频谱 page68 4 3周期信号的频谱 page69 4 3周期信号的频谱 例4 3 1试计算下图所示
14、信号在频谱第一个零点以内各分量的功率所占总功率的百分比 解 根据第二部分的计算结果 有 page70 4 3周期信号的频谱 第一个零点对应的频率为 page71 4 4非周期信号的频谱 4 4非周期信号的频谱 前已指出 当周期趋于无限大时 相邻谱线的间隔趋近于无穷小 从而频谱密集成为连续谱 同时 各频率分量的幅度也都趋近于无穷小 但这些无穷小量仍保持一定比例关系 例 与 一 傅里叶变换 page72 4 4非周期信号的频谱 page73 4 4非周期信号的频谱 术语 式 b 为非周期函数的傅里叶变换 式 a 为频谱密度函数的傅里叶逆变换 为的频谱密度函数 频谱函数 为的原函数 记号 page7
15、4 4 4非周期信号的频谱 奇偶性 前提 为实函数 的偶函数 的奇函数 的偶函数 的奇函数 page75 4 4非周期信号的频谱 傅里叶逆变换式的物理意义 page76 4 4非周期信号的频谱 上式表明 非周期信号可看作是由不同频率的余弦 分量 所组成 它包含了频率从零到无限大的一切频率 分量 page77 4 4非周期信号的频谱 傅里叶变换的存在条件 需要说明 前面在推导傅里叶变换式的过程中并未遵循数学上的严格步骤 数学证明指出 函数的傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内绝对可积 即 但注意该条件并非必要条件 当引入广义函数的概念后 许多不满足绝对可积分条件的函数 例 也能进行傅里叶变换
16、这给信号与系统的分析带来了很大的方便 page78 4 4非周期信号的频谱 例4 4 1如图所示为门函数 或称矩形脉冲 用符号表示 其宽度为 高度为1 求其频谱函数 page79 4 4非周期信号的频谱 2 门函数的带宽定义为 page80 4 4非周期信号的频谱 例4 4 2求下图所示的单边指数函数的频谱函数 解 page81 4 4非周期信号的频谱 例4 4 3求下图所示的双边指数函数的频谱函数 解 page82 4 4非周期信号的频谱 例4 4 4求下图所示信号的频谱函数 解 page83 4 4非周期信号的频谱 二 某些特殊函数的傅里叶变换 等 1 冲激函数的频谱 page84 4 4非周期信号的频谱 2 冲激函数导数的频谱 page85 4 4非周期信号的频谱 3 单位直流信号的频谱 幅度等于1的直流信号可表示为 显然 该信号并不满足绝对可积条件 page86 4 4非周期信号的频谱 当时 有 分子分母同除以 思考 与哪个函数的特点相同 page87 4 4非周期信号的频谱 4 符号函数的频谱 符号函数定义为 显然 该信号并不满足绝对可积条件 page88 4 4非周期信号的
