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1、 2 4含绝对值不等式 复习回顾 2 绝对值的意义 1 不等式的性质 0 2 2 0 2 2 问 为什么要加上a 0这个条件呢 如果a 0呢 a 0呢 题型一 结论 结论 结论 结论 结论 例题分析 例1 题型二 题型二 例2 典例训练 1 不等式 2x 3 2的解集是 2 不等式 x2 3x 8 10的解集是 解析 1 由 2x 3 2得2x 3 2或2x 3 2 解得x 或x 故原不等式的解集是 x x 或x 答案 x x 或x 2 原不等式等价于 10 x2 3x 8 10 即 原不等式的解集是 6 2 1 3 答案 6 2 1 3 变式1 若把题1中不等式的左边改为 2呢 解析 原不等
2、式等价于答案 变式2 解不等式2 x 2 4 解析 原不等式等价于 2 x 0或4 x 6 原不等式的解集为 x 2 x 0或4 x 6 典例训练 1 解不等式 x 1 x 1 3 解析 1 方法一 如图 设数轴上与 1 1对应的点分别为A B 1 A B两点间的距离为2 因此区间 1 1 上的数都不是不等式的解 2 设在A点左侧有一点A1到A B两点的距离和为3 A1对应数轴上的x 所以 1 x 1 x 3 得x 3 同理设B点右侧有一点B1到A B两点的距离和为3 B1对应数轴上的x 所以x 1 x 1 3 所以x 从数轴上可看到 点A1 B1之间的点到A B的距离之和都小于3 点A1的左
3、边或点B1的右边的任何点到A B的距离之和都大于3 所以原不等式的解集是 方法二 1 当x 1时 原不等式可以化为 x 1 x 1 3 解得x 2 当 1 x 1时 原不等式可以化为x 1 x 1 3 即2 3 不成立 无解 3 当x 1时 原不等式可以化为x 1 x 1 3 所以x 综上 可知原不等式的解集为 x x 或x 方法三 将原不等式转化为 x 1 x 1 3 0 构造函数y x 1 x 1 3 即 2x 3 x 1 y 1 1 x 1 2x 3 x 1 作出函数的图象 如图 函数的零点是 从图象可知当x 或x 时 y 0 即 x 1 x 1 3 0 所以原不等式的解集为 典例训练
4、1 不等式 2x 3 3x 1的解集是 2 解关于x的不等式 logaax2 logax 2 一 形如 f x a a R 型不等式解法 等价转化法 当a 0时 f x a f x a或f x a f x 0 当aa f x 有意义 常见题型解法归类 二 x a x b c和 x a x b c型不等式的解法 1 利用绝对值不等式的几何意义求解 2 以绝对值的零点为分界点 将数轴分为几个区间 利用 零点分段讨论 求解 3 通过构造函数 利用函数的图象求解 三 形如 f x g x 型不等式解法 等价转化法 即 f x g x f x g x 或f x g x 其中g x 可正也可负 若此类问题
5、用分类讨论法来解决 就显得较复杂 四 形如aa 0 型不等式解法 等价转化法 即af x 型不等式解法 绝对值的定义 即 f x f x f x 0 熟能生巧 1 解不等式 x x 3 5 方法一几何意义 是数轴上到0和3两点的距离之和不超过5的x的范围 结合数轴易得出 1 x 4 所以原不等式的解集为 1 4 方法二 原不等式 x x 3 5可等价转化为或或解不等式组得 1 x 4 所以原不等式的解集为 x 1 x 4 思考 求解此类不等式的关键是什么 提示 关键是理解绝对值的几何意义 变式训练 解不等式 3x 5 x 2 4 解析 1 当x 2时 不等式可化为5 3x x 2 4 解得x
6、与x 2矛盾 2 当 2 x 时 不等式可化为5 3x x 2 4 解得x 故 x 为不等式的解集 3 当 x时 不等式可化为3x 5 x 2 4 解得x 故 x 也为不等式的解集 综上 原不等式的解集为 x x 解析 1 解题流程 答案 审题 转化 2x 3 3x 1 由题意知3x 1 0 原不等式转化为 3x 1 2x 3 3x 1 求解 结论 以上不等式等价于 2 原不等式可化为 1 2logax logax 2 两边平方得4 logax 2 4logax 1 logax 2 4 logax 4 由定义去掉绝对值符号可得 1 0 logax 1 2 3 logax 0 综上 1 2 可知
7、 3 logax 1 故当a 1时 原不等式的解集为 x a 3 x a 当0 a 1时 原不等式的解集为 x a x a 3 思考 解答题2的易错点是什么 提示 易错点是忽略分类讨论而导致错解 变式训练 解不等式 x x2 2 x2 3x 4 解析 x x2 2 x2 x 2 而x2 x 2 x 2 0 x x2 2 x2 x 2 x2 x 2 故原不等式等价于x2 x 2 x2 3x 4 x 3 故原不等式的解集为 x x 3 含参数的绝对值不等式的解法 技法点拨 含参数的不等式问题分类及解题策略 1 一类要对参数进行讨论 另一类对参数并没有进行讨论 而是去绝对值时对变量进行讨论 得到两个
8、不等式组 最后把两不等式组的解集合并 即得该不等式的解集 2 解绝对值不等式的基本思想是想方设法 去掉绝对值符号 去绝对值符号的常用手段有以下几种 形如 f x g x 或 f x g x 的求解方法 根据实数的绝对值的意义分类讨论 即 a a a 0 a a 0 根据公式 x 0 f x a x a或xg x f x g x 或f x g x 根据 a 2 a2 a R 若不等式两边非负 可在不等式两边同时平方 如 f x g x f2 x g2 x 若不等式中有两个或两个以上含有未知数的绝对值的项 一般用数形结合法 包括几何法 图象法 和区间讨论法 数形结合法是根据绝对值的意义在数轴上找对
9、应满足题意的数 直接写出解集 或构造函数 画出图象 由图象直接写出未知数的取值范围 得出解集 区间讨论法是先求出每个含绝对值符号的代数式等于零的未知数的值 将这些值依次标在数轴上 这样数轴被分成若干个区间 这若干个区间内的不等式的解集的并集即为原不等式的解集 分段讨论时 注意不要遗漏分段的端点 典例训练 1 设函数f x x 1 x a 如果对任意x R f x 2 则a的取值范围是 2 2011 新课标全国高考 设函数f x x a 3x 其中a 0 1 当a 1时 求不等式f x 3x 2的解集 2 若不等式f x 0的解集为 x x 1 求a的值 解析 1 若a 1 则f x 2 x 1
10、 不满足题设条件 若a1 则f x 2x a 1 x 1a 1 1 x a2x a 1 x a f x 的最小值为a 1 综上可知 所求a的取值范围是 1 3 答案 1 3 2 1 当a 1时 f x 3x 2可化为 x 1 2 由此可得x 3或x 1 故不等式f x 3x 2的解集为 x x 3或x 1 2 由f x 0得 x a 3x 0 将此不等式化为不等式组或即或因为a 0 所以不等式组的解集为 x x 由题设可得 1 故a 2 易错误区 绝对值不等式变形不等价致误 典例 不等式 x 2 2x 1 1的解集是 解题指导 无解 的解集为0 x 的解集为 x 2 综上 取并集 得原不等式的
11、解集为 0 2 答案 0 2 解析 原不等式等价于 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的常见错误及解题启示总结如下 此处的 见解析过程 即时训练 函数f x 2x 1 x 4 的最小值是 解析 令y 2x 1 x 4 则 x 5 x y 3x 3 x 4 x 5 x 4 在一个坐标系中分别画出以上分段函数 由图象可知 当x 时 y 2x 1 x 4 取得最小值 答案 1 若集合M x x 2 N x x2 3x 0 则M N A 3 B 0 C 0 2 D 0 3 解析 选B M x 2 x 2 N 0 3 M N 0 2 不等式 2x log2x 1 D x 2 解析 选C 由 a b
12、a b 其中等号成立的条件为 ab 0 原不等式成立 即2x log2x 0 x 1 3 0的解集为 A x x 或x或x 且x 3 D x x R且x 3 解析 选C 分母 x 3 0且x 3 原不等式等价于 2x 1 2 0 即 2x 1 2 2x 1 2或2x 1或x或x 且x 3 4 2x 1 5 x 的解集是 解析 2x 1 5 x 2x 1 2 5 x 2 3x2 14x 24 0 x 6或x 答案 6 5 求不等式 x 3 x 3 3的解集 解析 由绝对值不等式的几何意义知 数轴上的点x到点 3和3的距离之差的绝对值大于3 不难得出x 或x或x 当a 0时 f x a f x 0 当aa f x 有意义 小结
