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第五节平面及其方程 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法向量 法向量的特征 垂直于平面的任一非零向量 已知 设平面上的任一点 必有 一 平面的点法式方程 平面的点法式方程 其中法向量 平面上一点 解 所求平面方程为 化简得 由平面的点法式方程 平面的一般式方程 法向量 二 平面的一般式方程 平面的一般式方程的几种特殊情况 平面通过原点 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 即 设平面为 将三点坐标代入得 解 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 设所求平面为 两向量平行的充要条件 解 化简得 令 所求平面方程为 由对称性 得 也满足要求 定义 通常取锐角 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角 三 两平面的夹角 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征 例6研究以下各组里两平面的位置关系 解 两平面相交 夹角 两平面平行 两平面平行但不重合 两平面平行 两平面重合 解 点到平面的距离公式 解 设所求平面的法向量 从而有 即 1 从而有 2 由 1 2 解得 另解 另解 即 平面的方程 熟记平面的几种特殊位置的方程 两平面的夹角 点到平面的距离公式 点法式方程 一般式方程 截距式方程 注意两平面的位置特征 四 小结 思考题 思考题解答
