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1、2 数学模型与数学分析 2020年4月 数学模型与数学分析 本文关键词：数学分析，数学模型 数学模型与数学分析 本文简介：平时学生不会做数学题时，我们有的老师总认为学生没读懂题，让学生反复读题。殊不知，你让学生按语文的读题方法去读，哪怕他读上一千遍一万遍，他做不来还是做不来。数学的建模与分析非常重要，有了规范的数学模型，就能正确地进行数学分析。只有明确了题目中各种信息及问题间的数量关系，才能正确迅速地解决较难的数学问题 数学模型与数学分析 本文内容： 平时学生不会做数学题时，我们有的老师总认为学生没读懂题，让学生反复读题。殊不知，你让学生按语文的读题方法去读，哪怕他读上一千遍一万遍，他做不来还
2、是做不来。数学的建模与分析非常重要，有了规范的数学模型，就能正确地进行数学分析。只有明确了题目中各种信息及问题间的数量关系，才能正确迅速地解决较难的数学问题。笔者以“盈亏问题”的解题方法为例，谈谈怎样建立数学模型和进行数学分析。 一、他人的经验及方法 把一定数量的物品平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；每人多分，则物品不足（亏）。已知所盈和所亏的数量及两次每人所分的数量，求人数的应用题叫盈亏问题。 盈亏问题的基本解法是：份数=（盈+亏）两次分配数的差； 物品总数=每份个数份数盈亏数。 解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配人数，进而求出物品的
3、数量。 趣味数学之木长几何孙子算经里有这样一道题：今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺。木长几何？（屈绳的意思是把绳子对折，度是量的意思，四尺五是4.5尺） 分析：用绳量木，绳子多出4.5尺，把绳对折再量，绳子又短1尺，可推出单股绳子比对折起来长5.5尺，多出的5.5尺正好是绳子的一半（如图）。 解答：绳子的长度：（4.5+1）2=11（尺） 木料的长度：11-4.5=6.5（尺） 答：（略） 分析中，“用绳量木，绳子多出4.5尺，把绳对折再量，绳子又短1尺，可推出单股绳子比对折起来长5.5尺。”这里用到了www.yulu.cc“盈亏问题”。为什么这样说呢？遇到类似问题还
4、能用这种方法解答吗？请关注下面的内容。 二、建立数学模型 他人的方法及经验看似简单易行，可事实并非如此。学生机械地套用公式，并不完全理解解题思路，题目稍加变化，他们又束手无策了。 笔者引导学生先分析并找出“盈亏问题”的特点它就是两种有余数的除法，再根据有余数除法各部分间的关系，建立“盈亏问题”总的数学模型： “盈亏问题”总的数学模型中两次被平均分的总数被除数是一定（不变）的；平均分的标准不同，我们归纳为两种，即除数1和除数2；分得的结果中的份数商也是一定（不变）的，分得的结果中的余数盈亏数则不同，我们把它们分别定义为余数1和余数2。当被除数和商不变时，除数变大，余数则会变小，反之。 两次分得的
5、余数之间的差，我们把它定义为“总差”，两次平均分的标准之间的差，我们把它定义为“小差”。正因为有分得的结果之一“商”那么多个“小差”才汇成最后结果之二“余数”间的“总差”，即“小差商=总差”。于是，关键问题“商”就得到解决：商=总差小差。 如“幼儿园买来一些玩具，如果每班分7个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，则差13个玩具，幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？”的数学模型： 三、进行数学分析 根据建好的数学模型，我们进行“盈亏问题”的数学分析： 从上面的模型中可以看出： 第二种分法的总个数比第一种分法的总个数多（2+13）个为“总差”，第二种分法比第一种分法每班多分（10-7）个为“
6、小差”，每班多分的“小差”乘班数就等于最后的“总差”。由此可以求出幼儿园共几班这个关键问题。 这个幼儿园有（2+13）（10-7）=5（班） 求出了模型中的商，再根据有余数的除法中“被除数=商除数+余数”就可求出这批玩具共有多少个了。 这批玩具有75+2=37（个）或105-13=37（个） 答：（略） 四、适时推广应用 我们通过建立数学模型和进行数学分析，掌握了“盈亏问题”的解题方法，适当增加难度，加以推广应用。 1.用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米，如果绳子三折时，差1米。求绳子长度和井深。（提示：绳子两折即把绳子平均分成两份，三折即三股。） 很明显，该题不能用“他人的经验及
7、方法”之木长几何的方法来进行解答。而木长几何题目却能用“盈亏问题”的模型来进行分析和解答。 2.小宏从家到校上学，出发时他看看表，发现如果每分钟步行80米，他将迟到5分钟；如果先步行10分钟后，再改成骑车每分钟行200米，他就可以提前1分钟到校。问小宏从家出发时离上学时间有几分钟？ 观察分析，这两题都属“盈亏问题”，只是题中的“盈亏（余数）”不是现成的，需要首先求出。 第1题的数学模型及数学分析： 井深：（52+13）（3-2）=13（米） 绳长：213+52=36（米）或（13+5）2=36（米） 答：（略） 木长几何数学模型及数学分析： 木长：（4.51+12）（2-1）=6.5（尺） 绳
8、长：6.5+4.5=11（尺）或（6.5-1）2=11（尺） 答：（略） 通过比较木长几何的两种方法，我们发现，他人的经验及方法具有局限性，只能用于特例；而我们的“盈亏问题”模型具有通用性，只要是“盈亏问题”都能用它来解答。 第2题的数学模型及数学分析 “余数1”：805=400（米） 求“余数2”步骤多一些。 10分钟的步行改成骑车要提前：10-8010200=6（分） 假如他骑车一直骑到上学时间到时会多行：200（6+1）=1400（米） “余数2”也可：（200-80）10+2001=1400（米） 小宏从家出发时离上学有：（400+1400）（200-80）=15（分） 答：（略） 我相信，只要坚持让学生按数学模型来读题、抄题，数学分析就更加容易和明了，他们就会更好地解决各种数学难题。 邓忠洪 14
