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1、平面向量 复习 知识网络 一 向量的概念 1 向量 既有 又有的量叫做向量 大小 方向 二 向量的表示 1 代数字母表示 2 几何有向表示 有向线段 作图 3 坐标表示 综合运算 可运算 向量的两要素 大小 方向 和 与位置无关 没有大小 三 几个特点向量 3 相等向量 的向量叫相等向量 长度为1 任意的 平行 2 单位向量 的向量叫单位向量 记作 1 零向量 的向量叫零向量 记作 零向量的方向是 零向量与任意向量 4 相反向量 的向量叫相反向量 5 平行向量 的向量叫平行向量 注意 共线向量也称平行向量 长度为零 长度相等 方向相反 长度相等 方向相同 表示向量的一些有向线段 平行或在一直线
2、上 6 请说出以上向量的相互关系 e a a e a cos a ba b 0 a b同向a b a b 反向时a b a b a2 a a a 2 a a cos a b a b 平面向量的数量积a b的性质 四 向量垂直的判定 五 向量平行的判定 共线向量的判定 六 向量的长度 七 向量的夹角 向量表示 坐标表示 向量表示 坐标表示 特别注意 由此 当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时 应排除夹角为0或的情况 也就是要进一步说明两向量不共线 例1e1 e2不共线 a e1 e2b 3e1 3e2a与b是否共线 典型例题分析 例2设a b是两个不共线向量 AB 2a kbBC a bCD
3、 a 2bA B D共线则k k R 例3 已知a 3 2 b 2 1 c 7 4 用a b表示c 例4 a 10b 3 4 且a b求a 例5 设 a b 1 3a 2b 3则 3a b 1 k 19 2 反向 解 答案 C 解 考点归纳1 向量的概念2 实数与向量的积3 平面向量的坐标运算4 线段的定比分点5 平面向量的数量积 D A A 4 已知 a b 1 a与b的夹角为90 c 2a 3b d ka 4b c d k A 6B 6C 3D 35 已知 a 3 b 4 a b a 3b 33 则a与b的夹角为 A 30 B 60 C 120 D 150 6 若 a b a 4 b 5
4、则a b A 10B 10C 10D 10 B C A 二 解答题 7 已知e1与e2是夹角为60 的单位向量 且a 2e1 e2 b 3e1 2e2 求a b及a与b的夹角 解 e1 e2是单位向量 且夹角为60 e1 e2 e1 e2 cos60 a b 2e1 e2 3e1 2e2 6 e12 e1 e2 2e22 3而 a 2 a2 2e1 e2 2 4e12 4e1 e2 e22 7 b 2 b2 3e1 2e2 2 9e12 2e1 e2 4e22 7 a b cos 120 8 1 已知a b都是非零向量 且a 3b与7a 5b垂直 a 4b与7a 2b垂直 求a与b的夹角 2
5、已知 a b 且a与b的夹角为 试求a 2b与a b的夹角 的大小 解 1 a 3b 7a 5b 0 a 4b 7a 2b 07a 16a b 15b 07a2 30a b 8b2 0a2 b22a b b2 cos 60 2 a2 3b2 4 a b 2a b a b cos cos30 3 9 已知 ABC中 A 2 4 B 1 2 C 4 3 BC边上的高为AD 1 求证 AB AC 2 求点D和向量AD的坐标 3 求证 AD2 BD DC解 1 A 2 4 B 1 2 C 4 3 AB 3 6 AC 2 1 AB AC 3 2 6 1 0AB AC 3 AD BD DC AD 2 BD DC AD2 BD DC
