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1、1 微积分学 一元微积分 2 线性代数 大学数学主要内容 多元微积分 3 概率与统计 如何学习高等数学 1 认识高等数学的重要性 培养浓厚的学习兴趣 2 做好预习复习 多做习题 3 作业 每两周第一次课上课前提交要求 1 不能抄作业2 解题过程尽量详细 考试安排 期中考试 待定 期末考试 闭卷考 最后两周 1月5日 10日评分 平时 出勤 作业等 20 期中考试10 期末考试占70 第一章函数 极限与连续 1 1函数一 实数与区间二 邻域三 函数的概念四 函数的特性五 数学建模 函数关系的建立 一 实数与区间 集合 具有某种特定性质的事物的总体 元素 组成这个集合的事物称为该集合的元素 集合与
2、元素的关系 由无限个元素组成的集合称为无限集 由有限个元素组成的集合称为有限集 集合的概念 集合举例 年在广东地区出生的人 全体奇数 集合的表示方法 列举法 重复地列出集合的所有元素 例如 可记为 可记为 描述法 所具有的特征 可记为 全体奇数的集合 可记为 就称集合和相等 若 且 记为 记为 则称集合是的真子集 若 且 空集 不包含任何元素的集合 记为 规定 空集为任何集合的子集 集合之间的关系 若 则称是的子集 记为 集合的运算 定义 集合的运算 当所研究的问题限定在一个大的集合中进行 所研究的其他集合都是的子集 定义的余集 或补集 例如 在实数集中 集就是 或 集合的基本运算规律 则有下
3、列法则成立 交换律 结合律 分配律 对偶律 数集分类 自然数集 实数集 整数集 有理数集 数集间的关系 注 如无特别说明 本课程中提到的数都是实数 数集 元素都是数的集合称为数集 区间 闭区间 半开半闭区间 特别地 开区间 二 邻域 定义 设与是两个实数 且 数集 称为点的邻域 记为 记为 即 点的去心的邻域 以为中心的任何开区间均是点的邻域 三 函数的概念 定义 是一个给定的数集 如果对于每个数 有确定的数值和它对应 则称是的函数 记作 其中 记为 即 函数值 全体组成的集合称为函数的值域 记为 或 即 注 构成函数的要素为 定义域与对应法则 两函数相等 它们的定义域和对应法则均相同 例 判
4、断下面函数是否相同 并说明理由 与 与 定义域的确定 对实际问题 根据问题的实际 意义确定 对抽象函数表达式 约定 定义域是使算式有 意义的一切实数组成的集合 这种定义域又称为 函数的自然定义域 例如 函数的图形 坐标平面上的点集 称为函数 的图形 函数的表示法 表格法 自变量的值与对应的函数值列成表格 的方法 图像法 在坐标系中用图形来表示函数关系的 方法 公式法 解析法 将自变量和因变量之间的关系用 数学表达式 又称为解析表达式 来表示的方法 例如 某水文站统计了某河流在40年内的平均月流 量如下表 定义域为数集 为自然数 函数的表示法 根据函数的解析表达式的形式不同 函数也可 分为以下三
5、种 显函数 函数由的解析表达式直接表示 例如 隐函数 关系由方程 来确定 例如 函数的自变量与因变量的对应 分段函数 函数在其定义域的不同范围内 具 有不同的解析表达式 完 例1 绝对值函数 定义域 值域 注 常用绝对值的运算性质 设 则 完 其他分段函数举例 符号函数 当 当 当 取整函数 表示不超过的最大整数 狄利克雷函数 当是有理数时 当是无理数时 四 函数的特性 数集 若 则称 若 则称 4 1函数的有界性 由上述定义易见有下列结论 有下界 在上有界 在上既有上界又 若 则称 否则称为无界 例4 证明 函数 函数 证 所以 故 因为 例 证明 函数 证 对于无论怎样大的 总可在 内找到
6、相应的 例如取 使得 完 函数的单调性 设函数的定义域为 区间 如果对于区间上任意两点及 恒有 则称函数 如果对于区间上任意两点及 恒有 则称函数 函数的单调性 例题分析 单调减少的 完 例5 证明函数 的函数 证 且 则 所以 又因为 故 函数的奇偶性 若 有 则称 为偶函数 例如 函数是奇函数 函数是偶函数 若 有 则称 为奇函数 例6 判断函数 的奇偶性 解 例 判断函数 的奇偶性 解 因为 函数的周期性 如果存在一个不为零 的数 使得 有 且 通常说的周期函数的周期是指其最小正周期 例如 都是以为周期的周期函数 例7 因为 解 故按周期函数的定义 且 的周期为 试求函 例 恒有 试证明
7、 则 证 则有 得 由式 可见 五 数学建模 函数关系的建立 在解决实际应用问题时 首先要将所要解决的问题 量化 从而建立起该问题的数学模型 即建立函数 关系 要把实际问题中变量之间的函数关系正确抽 象出来 首先应分析哪些是常量 哪些是变量 然后 确定选取哪个为自变量 哪个为因变量 最后根据 题意建立它们之间的函数关系 同时给出函数的定 义域 注 应用问题的定义域 除考虑函数的表达式外还 要考虑变量在实际问题中的意义 例8 某工厂生产某型号车床 干批进行生产 设产品均匀 投入市场 且上一批用完后立即生产下一批 库存量为批量的一半 然 生产批量大则库存费高 生产批量少则批数增多 因而生产准备费高
8、 年中库存费与生产准备费的和 为了选择最优批量 与批量的函数关系 分若 即平均 显 试求出一 解 设批量为 因年产量为 所以每年生产的批数为 设其为整 数 则生产准备费为 因库存量为 故库存费为 因此可得 定义域为 子 例9 某运输公司规定货物的吨公里运价为 在 公里以内 解 根据题意可列出函数关系如下 示的 定义域为 是用分段函数表 内容小结 集合的概念 集合的运算 区间 邻域 函数的定义 函数的运算 求函数的定义域 求函数表达式等 有界性 单调性 奇偶性 周期性 1 用分段函数表示函数 2 课堂练习 1 用分段函数表示函数 解 根据绝对值定义可知 当 当 因此有 即 2 解 有 有 作业
9、习题1 1Ex 1 1 3 5 Ex 2 2 4 Ex 4 2 Ex 7 3 Ex 8 1 1 2初等函数 一 反函数二 基本初等函数三 复合函数四 初等函数 一 反函数 域为 值域为 一般地 上不仅单值 调 看 新函数 作因变量 反函数 的定义域为 值域为 相对反函数 原来的函数 称为直接函数 而且单 得到的 数 注意 1 2 在同一个坐标平面内 例1 例 解 由题设 易得 解 故所求反函数为 二 基本初等函数 1 幂函数 2 指数函数 3 对数函数 4 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 5 反三角函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数 三
10、复合函数 引例 设 定义 而函数 的值域为 若 则称函数 注 即 通常记为 2 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函 例如 数的 3 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构 例如 成的 例2 设 解 求 例3 设 求 解 分段函数的复合运算 例5 设 求 解 解 或 或 或 或 所以 例4 将下列函数分解成基本初等函数的复合 解 是由 四个函数 是由 三个函数 复合而成 复合而成 是由 六个函数复合在而成 4 初等函数 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 并可用一个式子表示的函数 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 称为初等函数 分段函数一般不是初等函数 如符号函数 取整函数 1 反
11、函数 2 复合函数 3 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 4 函数的分类 内容小结 1 下列函数能否复合为函数 若能 写出其解析式 定义域 值域 课堂练习 2 1 下列函数能否复合为函数 若能 写出其解析式 定义域 值域 解 不能 完 2 解 所给函数是由 复合而成 补充题 求 解法1 令 则 取 代入得 设 解法2 因为 所以 所以 作业 P26Ex 1 2 Ex 2 Ex 4 Ex 5 Ex 9 1 3常用经济函数 单利复利多次付息贴现需求函数 供给函数 一 单利与复利 利息是指借款者向货款者支付的报酬 它是根据本 金的数额按一定比例计算出来的 单利计算公式
12、银行年利率为 则第一年末本利和为 则第二年末本利和为 复利计算公式 银行年利率为 则第一年末本利和 则第二年末本利和 例1 现有初始本金100元 若银行年储蓄利率为7 问 1 按单利计算 3年末的本利和为多少 2 按复利计算 3年末的本利和为多少 3 按复利计算 需多少年能使本利和超过初始本金 已知 由单利计算公式得 元 即3年末的本利和为121元 2 由复利计算公式得 元 的一倍 例1 现有初始本金100元 若银行年储蓄利率为7 问 3 按复利计算 需多少年能使本利和超过初始本金 解 的一倍 即需11年本利和可超过初始本金一倍 3 即要 单利付息情况 因每次的利息都不计入本金 故若 则年末的
13、本利和为 即年末的本利和与支付利息的次数无关 二 多次付息 年利率为 息 复利付息情况 一年末的本利和为 本利和为 三 贴现 票据的持有人 为在票据到期以前获得资金 从票面 金额中扣除来到期期间的利息后 得到所余金额的现 金称为贴现 贴现 考虑更一般的问题 值 利用复利计算公式有 表示贴现率 例2 某人手中有三张票据 其中一年后到期的票据金 额是500元 二年后到期的是800元 五年后到期的是 2000元 已知银行的贴现率6 现在将三张票据向银 行做一次性转让 银行的贴现金额是多少 解 由贴现计算公式 贴现金额为 其中 故 元 四 需求函数 市场上某种商品 的各种可能的购买量 间的数量关系 和
14、决定这些购买量的诸因素之 其中 表示需求量 价格 需求函数的反函数 表示 习惯上将价格函数也统称为需求函数 称为价格函数 而减少 因此 调减少函数 例如 函数 称为线性需求函数 如图 一般地 商品的需求量随价格 随价格的上涨 的下降而增加 需求函数是单 五 供给函数 供给函数是指在某一特定时期内 市场上某种 商品的各种可能的供给量和 诸因素之间的数量关系 其中 表示需求量 表示价格 供给函数以 决定这些供给量的 供给函数 一般地 商品的供给量随价格的上涨而增加 随价格的下降而减少 因此 供给函数是单调 增加函数 例如 供给函数 如图 六 市场均衡 对一种商品而言 如果需求量等于供给量 则 这种
15、商品就达到了市场均衡 以线性需求函数 和线性供给函数为例 令 当市场均衡时有 衡数量 例3 某种商品的供给函数和需求函数分别为 求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量 解 即市场均衡价格为7 市场均衡数量为165 例4 某批发商每次以160元 台的价格将500台电扇批 发给零售商 在这个基础上零售商每次多进100台电 扇 则批发价相应降低2元 批发商最大批发量为每 次1000台 试将电扇批发价格表示为批发量的函数 并求出零售商每次进800台电扇时的批发价格 解 由题意看出所求函数的定义域为 500 1000 已知每次多进100台 价格减少2元 设每次进电扇 台 数为 即所求函 元 台 七 成本函
16、数 产品成本是以货币形式表现的企业生产 产品的全部费用支出 成本函数表示费用总额与 产量 或销售量 之间的依赖关系 产品成本可分为 固定成本和变动成本两部分 一般地 数 即 称其为成本函数 对应的成本函 和销售 称 为单位成本函数或平均成本函数 成本函数是单调增加函数 其图像称为成本 曲线 八 收入函数与利润函数 销售某种商品的收入 等于商品的单位价格 乘以销售量 即 称其为收入函数 减去成本 即 生产者盈利 生产者亏损 生产者盈亏平衡 称为盈亏平衡点 又称为保本 点 称其为利润函数 1 1 设手表的价格为70元 销售量为10000只 若手表每只提高3元 需求量就减少3000只 求 需求函数 2 设手表价格为70元 手表厂可提供10000 只手表 当价格每只增加3元时 手表厂可多提 供300只 求供应函数 3 求市场均衡价格和市场均衡数量 课堂练习 内容小结 1 利息的计算 2 贴现 3 常用经济函数 如需求函数 供给函数 成本函数 收入函数与利润函数等 作业 习题1 3Ex 2 Ex 5 Ex 8 Ex 9 1 4数列的极限 极限概念数列的定义数列的极限收敛数列的性质 一 极限概念的
