《江苏省高考数学二轮复习专题四函数与导数第3讲函数导数的综合问题课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省高考数学二轮复习专题四函数与导数第3讲函数导数的综合问题课件（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲函数 导数的综合问题 专题四函数与导数 板块三专题突破核心考点 考情考向分析 函数和导数的综合问题 主要是利用导数证明不等式问题 函数零点问题 函数的实际应用问题等 一般需要研究函数的单调性和最值问题 注重数学思想的考查 B级要求 题目难度较大 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 例1已知函数f x xlnx g x x2 ax 3 1 对一切x 0 2f x g x 恒成立 求实数a的取值范围 热点一利用导数研究不等式问题 解答 当x 0 1 时 h x 0 h x 单调递增 所以h x min h 1 4 因为对一切x 0 2f x g x 恒成立 所以a h x m
2、in 4 即实数a的取值范围是 4 证明 又f x xlnx f x lnx 1 利用导数研究不等式恒成立问题 首先要构造函数 利用导数研究函数的单调性 求出最值 进而得出相应的含参不等式 从而求出参数的取值范围 也可以分离变量 构造函数 直接把问题转化为函数的最值问题 解答 跟踪演练1已知函数f x lnx x a R 1 若f 1 0 求函数f x 的单调减区间 此时f x lnx x2 x x 0 由f x 0 又因为x 0 所以x 1 所以f x 的单调减区间为 1 解答 2 若关于x的不等式f x ax 1恒成立 求整数a的最小值 所以h x 在 0 上单调递减 当x 0 x0 时
3、g x 0 当x x0 时 g x 0 所以g x 在 0 x0 上是增函数 在 x0 上是减函数 所以a 2 即整数a的最小值为2 当a 0时 因为x 0 所以g x 0 所以g x 在 0 上是增函数 所以关于x的不等式f x ax 1不能恒成立 又h a 在 0 上是减函数 所以当a 2时 h a 0 所以整数a的最小值为2 热点二利用导数研究实际应用问题 解答 例2 2015 江苏 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路 为进一步改善山区的交通现状 计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路 记两条相互垂直的公路为l1 l2 山区边界曲线为C 计划修建的公路为l 如图所示 M N为C
4、的两个端点 测得点M到l1 l2的距离分别为5千米和40千米 点N到l1 l2的距离分别为20千米和2 5千米 以l2 l1所在的直线分别为x y轴 建立平面直角坐标系xOy 假设曲线C符合函数y 其中a b为常数 模型 1 求a b的值 解由题意知 点M N的坐标分别为 5 40 20 2 5 解答 2 设公路l与曲线C相切于P点 P的横坐标为t 请写出公路l长度的函数解析式f t 并写出其定义域 设在点P处的切线l交x y轴分别于A B点 解答 当t为何值时 公路l的长度最短 求出最短长度 利用导数解决实际应用问题的一般步骤 1 建模 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型
5、写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求导 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 求最值 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 结论 回归实际问题作答 解答 跟踪演练2如图所示 建立平面直角坐标系xOy x轴在地平面上 y轴垂直于地平面 单位长度为1km 某炮位于坐标原点 已知炮弹发射后的轨迹在方程y kx 1 k2 x2 k 0 表示的曲线上 其中k与发射方向有关 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 1 求炮的最大射程 由实际意义和题设条件知x 0 k 0 当且仅当k 1时取等号 所以炮的最大射程为10km 答炮的最大射程为10km
6、解答 2 设在第一象限有一飞行物 忽略其大小 其飞行高度为3 2km 试问它的横坐标a不超过多少时 炮弹可以击中它 请说明理由 解因为a 0 所以炮弹可击中目标 存在k 0 使3 2 ka 1 k2 a2成立 关于k的方程a2k2 20ak a2 64 0有正根 20a 2 4a2 a2 64 0 0 a 6 所以当a不超过6km时 可击中目标 答当横坐标a不超过6km时 炮弹可以击中飞行物 热点三利用导数研究函数的零点问题 解答 例3已知函数f x xlnx g x x2 ax 2 e为自然对数的底数 a R 1 判断曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与曲线y g x 的公共点个数
7、解f x lnx 1 所以切线斜率k f 1 1 又f 1 0 所以曲线在点 1 0 处的切线方程为y x 1 由 1 a 2 4 a2 2a 3 a 1 a 3 可知 当 0 即a 1或a 3时 有两个公共点 当 0 即a 1或a 3时 有一个公共点 当 0 即 1 a 3时 没有公共点 解答 因此h x min h 1 3 1 研究函数图象的交点 方程的根 函数的零点 归根到底还是研究函数的图象 如单调性 值域 与x轴的交点等 2 由函数零点求参数范围 一般要根据函数零点的个数 结合函数图象 构造满足问题的不等式求解 解答 跟踪演练3已知函数f x 2lnx x2 ax a R 1 当a
8、2时 求f x 的图象在x 1处的切线方程 解当a 2时 f x 2lnx x2 2x x 0 切线的斜率k f 1 2 则切线方程为y 1 2 x 1 即2x y 1 0 解答 解g x 2lnx x2 m 故g x 在x 1处取得极大值g 1 m 1 真题押题精练 解答 1 2018 江苏 某农场有一块农田 如图所示 它的边界由圆O的一段圆弧MPN P为此圆弧的中点 和线段MN构成 已知圆O的半径为40米 点P到MN的距离为50米 现规划在此农田上修建两个温室大棚 大棚 内的地块形状为矩形ABCD 大棚 内的地块形状为 CDP 要求A B均在线段MN上 C D均在圆弧上 设OC与MN所成的
9、角为 1 用 分别表示矩形ABCD和 CDP的面积 并确定sin 的取值范围 解如图 设PO的延长线交MN于点H 则PH MN 所以OH 10 过点O作OE BC于点E 则OE MN 所以 COE 故OE 40cos EC 40sin 则矩形ABCD的面积为2 40cos 40sin 10 800 4sin cos cos CDP的面积为 1600 cos sin cos 过点N作GN MN 分别交圆弧和OE的延长线于点G和K 则GK KN 10 解答 2 若大棚 内种植甲种蔬菜 大棚 内种植乙种蔬菜 且甲 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 3 求当 为何值时 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值最
10、大 解因为甲 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 3 设甲的单位面积的年产值为4k 乙的单位面积的年产值为3k k 0 则年总产值为4k 800 4sin cos cos 3k 1600 cos sin cos 则f cos2 sin2 sin 2sin2 sin 1 2sin 1 sin 1 解答 2 已知函数f x 在x 0处的切线方程为y x 1 求实数a的值 因为函数在x 0处的切线方程为y x 所以f 0 1 解得a 1 2 若对任意的x 0 2 都有f x 成立 求实数k的取值范围 解答 当x 1 2 时 g x 0 函数g x 在 1 2 上单调递增 同理可得函数g x 在 0 1 上单调递减 所以k g x min g 1 e 1 综上所述 实数k的取值范围是 0 e 1
