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1、课前自主学案 零点 根 1 一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表 函数 方程 不等式之间的关系 y 0 y 0 x1 x2 若有两个不同的根 用口诀 大于取两边 小于取中间 1 设集合A B x x2 1 则A B A x 1 x 2 B C x x 2 D x 1 x 2 解析 由x2 1得 1 x 1 B x 1 x 1 A B x 1 x 2 答案 A 2 不等式3x2 7x 2 0的解集是 A x x 2 B x x 或x 2 C x 2 x D x x 2 解析 由3x2 7x 2 3x 1 x 2 知方程3x2 7x 2 0的两根为x1 x2 2 又函数f
2、x 3x2 7x 2的图象开口向上 所以不等式3x2 7x 2 0的解集是 x x 2 答案 A 3 设二次不等式ax2 bx 1 0的解集为 x 1 x 则a b的值为 A 6B 5C 6D 5 解析 因x 1 是方程ax2 bx 1 0的两根 又 1 a 3 b 2 a b 6 答案 C 4 不等式2 x2 2x 8的解集是 解析 原不等式等价于由x2 2x 2 得x 1 或x 1 由x2 2x 8 得 2 x 4 原不等式的解集为 x 2 x 1 或1 x 4 答案 2 1 1 4 5 若a 0 则不等式x2 2ax 3a2 0的解集为 解析 令x2 2ax 3a2 0 则x1 3a x
3、2 a 又 a 0 3a a 不等式的解集为 x 3a x a 答案 x 3a x a 1 解一元二次不等式的一般步骤 1 对不等式变形 使一端为0且二次项系数大于0 即ax2 bx c 0 a 0 ax2 bx c0 2 计算相应的判别式 3 当 0时 求出相应的一元二次方程的两根 4 根据对应二次函数的图象 写出不等式的解集 2 对于解含有参数的二次不等式 一般讨论的顺序是 1 讨论二次项系数是否为0 这决定此不等式是否为二次不等式 2 当二次项系数不为0时 讨论判别式是否大于0 3 当判别式大于0时 讨论二次项系数是否大于0 这决定所求不等式的不等号的方向 4 判断二次不等式两根的大小
4、解下列不等式 1 x2 2x 0 2 ax2 a 1 x 1 0 a R 思路点拨 课堂笔记 1 两边都乘以 3 得3x2 6x 20 且方程3x2 6x 2 0的解是x1 1 x2 1 所以原不等式的解集是 x 1 x 1 2 若a 0 则原不等式等价于 x 11 若a0 x1 若a 0 则原不等式等价于 x 1 1时 1 所以 1 x 综上所述 当a1 当01时 解集为 1 实际应用问题是新课标下考查的重点 突出了应用能力的考查 在不等式应用题中常以函数模型出现 如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型 解题时要理清题意 准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解 2 不等式应用题一般可按如
5、下四步进行 1 阅读理解 认真审题 把握问题中的关键量 找准不等关系 2 引进数学符号 用不等式表示不等关系 3 解不等式 4 回归实际问题 国家原计划以2400元 吨的价格收购某种农产品m吨 按规定 农户向国家纳税为 每收入100元纳税8元 称作税率为8个百分点 即8 为了减轻农民负担 决定降低税率 根据市场规律 税率降低x个百分点 收购量能增加2x个百分点 试确定x的范围 使税率调低后 国家此项税收总收入不低于原计划的78 思路点拨 课堂笔记 设税率调低后的税收总收入为y元 则y 2400m 1 2x 8 x m x2 42x 400 由题意知 0 x 8 要使税收总收入不低于原计划的78
6、 须y 2400m 8 78 即 m x2 42x 400 2400m 8 78 整理 得x2 42x 88 0 解得 44 x 2 又0 x 8 0 x 2 所以 x的取值范围是 0 2 1 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是变量 求谁的范围 谁就是参数 2 对于二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 已知不等式mx2 2x m 1 0 1 若对所有的实数x不等式恒成立 求m的取值范围 2 设不等式对于满足 m 2的一切m的值都成立 求x的取值范围
7、 思路点拨 课堂笔记 1 不等式mx2 2x m 1时 不等式恒成立 当m 0时 函数f x mx2 2x m 1为二次函数 需满足开口向下且方程mx2 2x m 1 0无解 即 则m无解 综上可知不存在这样的m 2 从形式上看 这是一个关于x的一元二次不等式 可以换个角度 把它看成关于m的一元一次不等式 并且已知它的解集为 2 2 求参数x的范围 设f m x2 1 m 1 2x 则其为一个以m为自变量的一次函数 其图象是直线 由题意知该直线当 2 m 2时线段在x轴下方 即 解 得x 解 得 x 由 得 x x的取值范围为 若x 1 时 x2 2ax 2 a恒成立 试求a的取值范围 解 法
8、一 令f x x2 2ax 2 x 1 f x x a 2 2 a2 此二次函数图象的对称轴为x a 1 当a 1 时 结合图象知 f x 在 1 上单调递增 f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a 3 a 解得 3 a 1 2 当a 1 时 f x min f a 2 a2 由2 a2 a 解得 2 a 1 1 a 1 综上所述 所求a的取值范围为 3 a 1 法二 由已知得x2 2ax 2 a 0在 1 上恒成立 令f x x2 2ax 2 a 即 4a2 4 2 a 0或解得 3 a 1 以选择题或填空题的形式直接考查一元二次不等式的解法或
9、以集合运算为载体考查一元二次不等式的解法是高考对本节内容的常规考法 09年天津高考则以含参不等式的解法为载体 考查了参数取值范围的求解问题 是高考一个新的考查方向 考题印证 文 2009 天津高考 若关于x的不等式 2x 1 2 ax2的解集中的整数恰有3个 则实数a的取值范围是 解析 不等式可化为 4 a x2 4x 1 0 由于原不等式的解集中的整数恰有3个 所以 即0 a 4 故由 得 x 又 所以解集中的3个整数必为1 2 3 所以3 4 解得 a 答案 理 2009 天津高考 设0 ax 2的解集中的整数恰有3个 则 A 1 a 0B 0 a 1C 1 a 3D 3 a 6 解析 原
10、不等式转化为 1 a x b 1 a x b 0 1 a 1 结合不等式解集形式知不符合题意 2 a 1 此时 x 由题意0 1 要使原不等式解集中的整数解恰有3个 知 3 2 整理得 2a 2 b 3a 3 结合题意b 1 a 有2a 2 1 a a 3 从而有1 a 3 答案 C 自主体验 已知函数f x x2 ax b2 b 1 a R b R 对任意实数x都有f 1 x f 1 x 成立 若当x 1 1 时 f x 0恒成立 则b的取值范围是 A 1 b 0B b 2C b 1或b 2D 不能确定 解析 由f 1 x f 1 x 知f x 的对称轴为x 1 故a 2 又f x 开口向下
11、 所以当x 1 1 时f x 为增函数 f x min f 1 1 2 b2 b 1 b2 b 2 f x 0恒成立 即f x min b2 b 2 0恒成立 解得b 1或b 2 答案 C 1 2010 大连模拟 设函数f x 则不等式f x f 1 的解集是 A 3 1 3 B 3 1 2 C 1 1 3 D 3 1 3 解析 f 1 12 4 1 6 3 0 x 1或x 3 3 x 0 所以f x f 1 的解集为 3 1 3 答案 A 2 2009 山东高考 在R上定义运算 a b ab 2a b 则满足x x 2 0的实数x的取值范围为 A 0 2 B 2 1 C 2 1 D 1 2
12、解析 根据题意得 x x 2 x x 2 2x x 2 x2 x 2 解x2 x 2 0 得 2 x 1 答案 B 3 设A x x2 2x 3 0 B x x2 ax b 0 若A B R A B 3 4 则a b等于 A 7B 1C 1D 7 解析 A 1 3 A B R A B 3 4 则B 1 4 1 4为方程x2 ax b 0的两根 a 1 4 3 b 1 4 4 a b 7 答案 D 4 若关于x的不等式 x2 2x mx的解集是 x 0 x 2 则实数m的值是 解析 x2 2x mx可化为x2 2m 4 x 0 由于其解集为 x 0 x 2 故0 2是方程x2 2m 4 x 0的
13、两根 由一元二次方程根与系数的关系知 4 2m 2 所以m 1 答案 1 5 2010 开原模拟 在R上定义运算 x y x 1 y 若不等式 x a x a 1对任意实数x恒成立 则a 解析 x a x a 1 即 x a 1 x a 1 整理成x2 x a2 a 1 0恒成立 4a2 4a 3 0 解得 a 答案 6 已知f x 3x2 a 6 a x b 1 解关于a的不等式f 1 0 2 当不等式f x 0的解集为 1 3 时 求实数a b的值 解 1 f 1 3 a 6 a b a2 6a b 3 f 1 0 a2 6a b 3 0 24 4b 当b 6时 0 f 1 0的解集为 当b 6时 3 0的解集为 a 3 a 3 2 不等式 3x2 a 6 a x b 0的解集为 1 3 f x 0与不等式 x 1 x 3 0同解 3x2 a 6 a x b 0的解集为 1 3 解之得
